Recorrendo ao critério da integral, mostre que a série é divergente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(4 n-3)(4 n-1)}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(4n-3)(4n-1)}
é divergente, usando o critério da integral. O conteúdo é o teste de integral para séries de termos positivos: definimos uma função f(x) que coincide com o termo geral quando x=n, mostramos que é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), e então comparamos a série com a integral \displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx.
Passo 2
Definimos
f(x) = \frac{x}{(4x-3)(4x-1)},\quad x\ge1.
Note que para x\ge1, os fatores 4x-3 e 4x-1 são positivos, logo f(x)>0. Claramente f é contínua em [1,\infty) pois não há zeros nos denominadores nesse intervalo.
Passo 3
Mostramos que f é decrescente em [1,\infty) calculando sua derivada.