Recorrendo ao critério da integral, mostre que a série é divergente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(4 n-3)(4 n-1)}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(4n-3)(4n-1)}
é divergente, usando o critério da integral. O conteúdo é o teste de integral para séries de termos positivos: definimos uma função f(x) que coincide com o termo geral quando x=n, mostramos que é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty), e então comparamos a série com a integral \displaystyle\int_{1}^{\infty}f(x)\,dx.

Passo 2

Definimos
f(x) = \frac{x}{(4x-3)(4x-1)},\quad x\ge1.
Note que para x\ge1, os fatores 4x-3 e 4x-1 são positivos, logo f(x)>0. Claramente f é contínua em [1,\infty) pois não há zeros nos denominadores nesse intervalo.

Passo 3

Mostramos que f é decrescente em [1,\infty) calculando sua derivada.
f'(x) = \frac{(4x-3)(4x-1) - x\,(32x-16)}{\bigl((4x-3)(4x-1)\bigr)^2} = \frac{16x^2 -16x +3 -32x^2 +16x}{\bigl((4x-3)(4x-1)\bigr)^2} = \frac{-16x^2 +3}{\bigl((4x-3)(4x-1)\bigr)^2}.
Para x\ge1 temos -16x^2+3\le -13<0, logo f'(x)<0. Assim f é decrescente.

Passo 4

Aplicamos o critério da integral, estudando
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{1}^{\infty} \frac{x}{(4x-3)(4x-1)}\,dx.
Fazemos frações parciais: procuramos A,B tais que
\frac{x}{(4x-3)(4x-1)} = \frac{A}{4x-3} + \frac{B}{4x-1}.
Da identidade x = A(4x-1)+B(4x-3) segue
4A+4B = 1,\quad -A-3B = 0 \;\Longrightarrow\; A=\tfrac{3}{8},\;B=-\tfrac{1}{8}.
Então
f(x) = \frac{3/8}{4x-3} \;-\;\frac{1/8}{4x-1}.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int \frac{dx}{4x-3} = \frac{1}{4}\ln\bigl|4x-3\bigr|,\qquad \int \frac{dx}{4x-1} = \frac{1}{4}\ln\bigl|4x-1\bigr|.
Logo
\int_{1}^{R} f(x)\,dx = \frac{3}{8}\cdot\frac{1}{4}\ln(4x-3)\Big|_{1}^{R} -\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{4}\ln(4x-1)\Big|_{1}^{R} = \frac{1}{32}\Bigl(3\ln(4R-3)-\ln(4R-1)+\ln(3)\Bigr).
Quando R\to\infty, o termo 3\ln(4R-3)-\ln(4R-1)\sim 2\ln R\to\infty. Portanto
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx = \infty.

Passo 6

Como f é positiva, contínua e decrescente em [1,\infty) e a integral divergente, pelo critério da integral a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(4n-3)(4n-1)}
também diverge.

Resposta

A série diverge pelo critério da integral.

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