Recorrendo ao critério de Leibniz quais das séries seguintes são convergentes ou divergentes.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^{2}}{1+n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar se a série alternada \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{n^{2}}{1+n^{2}}
é convergente ou divergente pelo critério de Leibniz. Esse critério afirma que uma série da forma \sum(-1)^{n}a_{n} converge se, para n grande, a_{n} é decrescente e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Passo 2

Identificamos a_{n}=\frac{n^{2}}{1+n^{2}}. Calculamos o seu limite:
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{1+n^{2}} =1.

Passo 3

Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=1\neq 0, a condição necessária do critério de Leibniz (isto é, a_{n}\to 0) não se satisfaz. Portanto a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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