Questões gerais misturando todas as propriedades:
\log _{7}\left(49 \cdot 7^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log_{7}\left(49 \cdot 7^{3}\right).
Informações dadas: dentro do log temos o produto de 49 e de 7^{3}. A base do logaritmo é 7. Não há outras informações externas.

Passo 2

Primeiro, lembro o que é logaritmo: a igualdade
\log_{b}(a)=c
significa que
b^{c}=a.
Aqui b é a base do logaritmo, a é o número cujo logaritmo estamos calculando, e c é o resultado (o expoente que a base precisa para gerar a). No nosso problema a base é b=7.

Passo 3

Vou listar duas propriedades de logaritmos que vamos usar e explicar o que cada símbolo significa:
Propriedade do produto:
\log_{b}(x\cdot y)=\log_{b}x+\log_{b}y,
onde x e y são números positivos.
Propriedade da potência:
\log_{b}(x^{k})=k\log_{b}x,
onde k é um número real e x>0.
Essas propriedades vêm da definição de logaritmo e das regras de potência. Por exemplo, se x=b^{m} e y=b^{n}, então x\cdot y=b^{m+n} e \log_{b}(x\cdot y)=m+n=\log_{b}x+\log_{b}y.

Passo 4

Agora aplico essas ideias ao nosso problema. Primeiro note que 49 pode ser reescrito como potência de 7: eu peguei esse dado do próprio enunciado (o número 49 aparece lá). Como 49=7^{2}, temos
\log_{7}\left(49\cdot 7^{3}\right)=\log_{7}\left(7^{2}\cdot 7^{3}\right).

Passo 5

Uso a regra das potências para multiplicar potências de mesma base:
7^{2}\cdot 7^{3}=7^{2+3}=7^{5}.
Portanto
\log_{7}\left(7^{2}\cdot 7^{3}\right)=\log_{7}\left(7^{5}\right).

Passo 6

Pela definição do logaritmo, \log_{b}\left(b^{k}\right)=k para qualquer base b>0, b\neq1. Aplicando isso aqui com b=7 e k=5, obtemos
\log_{7}\left(7^{5}\right)=5.

Passo 7

Como checagem, posso usar as propriedades listadas no Passo 3 de outra forma: aplicar a propriedade do produto primeiro,
\log_{7}\left(49\cdot 7^{3}\right)=\log_{7}(49)+\log_{7}\left(7^{3}\right),
e então \log_{7}(49)=\log_{7}\left(7^{2}\right)=2 e \log_{7}\left(7^{3}\right)=3, somando 2+3=5. Dá o mesmo resultado, ótimo — por isso combinei as potências direto no passo anterior, que é mais curto.

Resposta

5

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