Questões gerais misturando todas as propriedades:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
.
Informações dadas: dentro do log temos o produto de e de
. A base do logaritmo é
. Não há outras informações externas.
Informações dadas: dentro do log temos o produto de
Passo 2
Primeiro, lembro o que é logaritmo: a igualdade
significa que
Aqui
é a base do logaritmo,
é o número cujo logaritmo estamos calculando, e
é o resultado (o expoente que a base precisa para gerar
). No nosso problema a base é
.
Passo 3
Vou listar duas propriedades de logaritmos que vamos usar e explicar o que cada símbolo significa:
Propriedade do produto:
onde
e
são números positivos.
Propriedade da potência:
onde
é um número real e
.
Essas propriedades vêm da definição de logaritmo e das regras de potência. Por exemplo, se
e
, então
e
.
Passo 4
Agora aplico essas ideias ao nosso problema. Primeiro note que
pode ser reescrito como potência de
: eu peguei esse dado do próprio enunciado (o número
aparece lá). Como
, temos
Passo 5
Uso a regra das potências para multiplicar potências de mesma base:
Portanto
Passo 6
Pela definição do logaritmo,
para qualquer base
,
. Aplicando isso aqui com
e
, obtemos
Passo 7
Como checagem, posso usar as propriedades listadas no Passo 3 de outra forma: aplicar a propriedade do produto primeiro,
e então
e
, somando
. Dá o mesmo resultado, ótimo — por isso combinei as potências direto no passo anterior, que é mais curto.