RECUPERAÇÃO PROVA 3

  1. [2.0 pt ] Mostre que a área da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=b^{2} que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2}, com 0<a<b é A=4 \pi b\left(b-\sqrt{b^{2}-a^{2}}\right).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a área da parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=b^{2} que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=a^{2}, com 0<a<b. A resposta a ser demonstrada é
A=4\pi b\left(b-\sqrt{b^{2}-a^{2}}\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A superfície é a esfera de raio b.
  • O cilindro é vertical (eixo z) de raio a.
  • A condição 0<a<b garante que o cilindro intersecta a esfera formando um círculo de interseção.
  • A região pedida é a porção da superfície esférica cujos pontos satisfazem x^{2}+y^{2}\le a^{2}.

Passo 2

Vamos entender geometricamente a região que queremos medir (isso não é resolver ainda, só identificar claramente a região). Sobre a esfera temos x^{2}+y^{2}+z^{2}=b^{2}. Então, sobre a esfera, x^{2}+y^{2}=b^{2}-z^{2}. A condição de estar dentro do cilindro x^{2}+y^{2}\le a^{2} torna-se, sobre a esfera,
b^{2}-z^{2}\le a^{2}\quad\Longrightarrow\quad z^{2}\ge b^{2}-a^{2}.
Definindo
z_{0}=\sqrt{b^{2}-a^{2}},
vemos que os pontos da esfera dentro do cilindro são exatamente aqueles com |z|\ge z_{0}. Geometricamente, isso corresponde a dois “capítulos” (duas calotes esféricas), um próximo do polo norte ( z\ge z_{0}) e outro próximo do polo sul ( z\le -z_{0}). Cada calota tem altura h=b-z_{0} medida a partir do topo da esfera até o plano z=z_{0}.

Passo 3

Escolhemos parametrizar a esfera por coordenadas esféricas porque isso dá de cara um elemento de área muito simples e simétrico. A parametrização (raio fixo b) é
\mathbf{r}(\varphi,\theta)=\bigl(b\sin\varphi\cos\theta,\; b\sin\varphi\sin\theta,\; b\cos\varphi\bigr),
onde \varphi é o ângulo polar medido a partir do eixo z (ou seja, \varphi\in[0,\pi]) e \theta é o ângulo azimutal no plano xy (ou seja, \theta\in[0,2\pi)). Aqui:
  • \varphi=0 corresponde ao polo norte ( z=+b),
  • \varphi=\pi corresponde ao polo sul ( z=-b).

Passo 4

Agora precisamos do elemento de área dS da esfera na parametrização \mathbf{r}(\varphi,\theta). Uma forma direta é calcular os vetores parciais e o módulo do produto vetorial:
\mathbf{r}_{\varphi}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi}=\bigl(b\cos\varphi\cos\theta,\; b\cos\varphi\sin\theta,\; -b\sin\varphi\bigr),
\mathbf{r}_{\theta}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\theta}=\bigl(-b\sin\varphi\sin\theta,\; b\sin\varphi\cos\theta,\; 0\bigr).
O elemento de área é dS=\|\mathbf{r}_{\varphi}\times\mathbf{r}_{\theta}\|\,d\varphi\,d\theta. Calculando o produto vetorial (ou usando o resultado clássico das coordenadas esféricas), obtém-se
\|\mathbf{r}_{\varphi}\times\mathbf{r}_{\theta}\|=b^{2}\sin\varphi.
Portanto
dS=b^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Explicação curta do significado: b^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta é a área do “retângulo” pequeno na malha esférica com lados aproximados por b\,d\varphi e b\sin\varphi\,d\theta.

Passo 5

Precisamos agora determinar os limites de integração em \varphi e \theta que descrevem as duas calotas com |z|\ge z_{0}. Na parametrização temos z=b\cos\varphi. Para a calota superior (próxima ao polo norte) queremos z\ge z_{0}, isto é
b\cos\varphi\ge z_{0}\quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi\ge \frac{z_{0}}{b}.
Definimos \phi_{0} por
\cos\phi_{0}=\frac{z_{0}}{b}=\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b},
então a calota superior corresponde a \varphi\in[0,\phi_{0}]. Pela simetria, a calota inferior é análoga e corresponde a \varphi\in[\pi-\phi_{0},\pi]. Em vez de integrar separadamente as duas calotas, aproveitamos a simetria e multiplicamos por 2 a integral da calota superior.

Passo 6

Montamos a integral da área total (duas calotas) usando dS=b^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta:
A=2\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\phi_{0}} b^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro a integral em \varphi:
\int_{0}^{\phi_{0}}\sin\varphi\,d\varphi = 1-\cos\phi_{0}.
Multiplicando pelos restantes fatores:
A=2\cdot(2\pi)\cdot b^{2}\cdot\bigl(1-\cos\phi_{0}\bigr)=4\pi b^{2}\bigl(1-\cos\phi_{0}\bigr).
Lembrando que \cos\phi_{0}=\dfrac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}, substituímos:
A=4\pi b^{2}\left(1-\frac{\sqrt{b^{2}-a^{2}}}{b}\right).
Fatorando b obtemos a forma pedida:
A=4\pi b\left(b-\sqrt{b^{2}-a^{2}}\right).

Passo 7

Comentário didático final e alternativa curta: a forma da área poderia também ser obtida usando a fórmula clássica da área de uma calota esférica: a área de uma calota de esfera de raio b e altura h é 2\pi b h. Aqui cada calota tem altura h=b-z_{0}=b-\sqrt{b^{2}-a^{2}}. Como há duas calotas, a área total é 2\cdot 2\pi b h=4\pi b(b-\sqrt{b^{2}-a^{2}}). Eu usei a derivação por coordenadas esféricas para mostrar de onde vem o elemento de área e ficar seguro do cálculo — é bom conhecer ambas as abordagens na prova.

Resposta

A=4\pi b\left(b-\sqrt{b^{2}-a^{2}}\right)

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