RECUPERAÇÃO PROVA 3
- [2.0 pt ] Mostre que a área da esfera
que está dentro do cilindro
, com
é
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a área da parte da esfera
que está dentro do cilindro
, com
. A resposta a ser demonstrada é
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A superfície é a esfera de raio
. - O cilindro é vertical (eixo
) de raio . - A condição
garante que o cilindro intersecta a esfera formando um círculo de interseção. - A região pedida é a porção da superfície esférica cujos pontos satisfazem
.
Passo 2
Vamos entender geometricamente a região que queremos medir (isso não é resolver ainda, só identificar claramente a região). Sobre a esfera temos
. Então, sobre a esfera,
. A condição de estar dentro do cilindro
torna-se, sobre a esfera,
Definindo
vemos que os pontos da esfera dentro do cilindro são exatamente aqueles com
. Geometricamente, isso corresponde a dois “capítulos” (duas calotes esféricas), um próximo do polo norte (
) e outro próximo do polo sul (
). Cada calota tem altura
medida a partir do topo da esfera até o plano
.
Passo 3
Escolhemos parametrizar a esfera por coordenadas esféricas porque isso dá de cara um elemento de área muito simples e simétrico. A parametrização (raio fixo
) é
onde
é o ângulo polar medido a partir do eixo
(ou seja,
) e
é o ângulo azimutal no plano
(ou seja,
). Aqui:
-
corresponde ao polo norte ( ), -
corresponde ao polo sul ( ).
Passo 4
Agora precisamos do elemento de área
da esfera na parametrização
. Uma forma direta é calcular os vetores parciais e o módulo do produto vetorial:
O elemento de área é
. Calculando o produto vetorial (ou usando o resultado clássico das coordenadas esféricas), obtém-se
Portanto
Explicação curta do significado:
é a área do “retângulo” pequeno na malha esférica com lados aproximados por
e
.
Passo 5
Precisamos agora determinar os limites de integração em
e
que descrevem as duas calotas com
. Na parametrização temos
. Para a calota superior (próxima ao polo norte) queremos
, isto é
Definimos
por
então a calota superior corresponde a
. Pela simetria, a calota inferior é análoga e corresponde a
. Em vez de integrar separadamente as duas calotas, aproveitamos a simetria e multiplicamos por
a integral da calota superior.
Passo 6
Montamos a integral da área total (duas calotas) usando
:
Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro a integral em
:
Multiplicando pelos restantes fatores:
Lembrando que
, substituímos:
Fatorando
obtemos a forma pedida:
Passo 7
Comentário didático final e alternativa curta: a forma da área poderia também ser obtida usando a fórmula clássica da área de uma calota esférica: a área de uma calota de esfera de raio
e altura
é
. Aqui cada calota tem altura
. Como há duas calotas, a área total é
. Eu usei a derivação por coordenadas esféricas para mostrar de onde vem o elemento de área e ficar seguro do cálculo — é bom conhecer ambas as abordagens na prova.