1. Determine o centro de massa do hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geqslant 0, se ele tiver densidade constante.
  2. Determine a massa de um funil fino com o formato do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, 1 \leqslant z \leqslant 4, se sua função densidade é \rho(x, y, z)=10-z.

Passo 1

Enunciados e dados fornecidos:
  • Questão 39: Determinar o centro de massa do hemisfério dado por x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, com z\ge 0, assumindo densidade constante. Pergunta: encontrar as coordenadas do centro de massa (isto é, \bar x,\bar y,\bar z) do sólido hemisférico.
    Dados relevantes extraídos do enunciado:
    \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, \;z\ge 0.
    densidade constante (vou chamar de \rho_{0}).
    simetria axial (espera-se \bar x=\bar y=0).
  • Questão 40: Determinar a massa de um funil fino com a forma do cone \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, para 1\le z\le 4, cuja função densidade é \rho(x,y,z)=10-z.
    Dados relevantes extraídos do enunciado:
    superfície lateral do cone (funil fino) dada por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, entre as alturas z=1 e z=4.
    densidade superficial (função escalar) \rho(x,y,z)=10-z.
    Pergunta: calcular a massa total do funil (integral de superfície da densidade).

Passo 2

Começando a resolver a Questão 39: esclarecer a fórmula do centro de massa para um corpo com densidade constante.
  • Definição útil: para um corpo de densidade \rho(\mathbf{r}), massa total é
M=\int_{V}\rho(\mathbf{r})\,dV.
O centro de massa na coordenada z é
\bar z=\frac{1}{M}\int_{V} z\,\rho(\mathbf{r})\,dV.
  • No nosso caso a densidade é constante, \rho(\mathbf{r})=\rho_{0}. Isso simplifica porque \rho_{0} cancelará ao calcular \bar z. Além disso, por simetria axial em torno do eixo z temos imediatamente
\bar x=0,\qquad \bar y=0.
Resta calcular \bar z.

Passo 3

Calcular a massa M do hemisfério (com densidade constante \rho_{0}) para depois usar na fórmula de \bar z.
  • Volume do hemisfério: o volume de uma esfera de raio a é \tfrac{4}{3}\pi a^{3}. Um hemisfério tem metade desse volume, portanto
V_{\text{hem}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi a^{3}=\frac{2}{3}\pi a^{3}.
  • Assim a massa total é
M=\rho_{0} V_{\text{hem}}=\rho_{0}\cdot\frac{2}{3}\pi a^{3}.
Aqui \rho_{0} é a densidade constante (pode cancelar depois).

Passo 4

Calcular o numerador \displaystyle \int_{V} z\,\rho_{0}\,dV que aparece em \bar z.
  • Vou usar coordenadas esféricas porque a região é naturalmente a metade de uma esfera. Em coordenadas esféricas usamos:
    • r = distância radial (variando 0 a a),
    • \varphi = ângulo polar medido a partir do eixo z (variando 0 a \tfrac{\pi}{2} para o hemisfério superior),
    • \theta = ângulo azimutal no plano xy (variando 0 a 2\pi).
  • As relações são
z=r\cos\varphi,
e o elemento de volume é
dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
  • Então o integrando fica z\,\rho_{0}\,dV=\rho_{0}(r\cos\varphi)\,r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta=\rho_{0} r^{3}\cos\varphi\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Executar a integral triple separando em fatores que dependem de r,\varphi,\theta.
\int_{V} z\,\rho_{0}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{a} \rho_{0} r^{3}\cos\varphi\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
  • Integral em \theta é simples:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • Integral em r:
\int_{0}^{a} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{a}=\frac{a^{4}}{4}.
  • Integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi/2} \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Use substituição ou identidades: \cos\varphi\sin\varphi=\tfrac{1}{2}\sin(2\varphi). Então
\int_{0}^{\pi/2}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\varphi)\,d\varphi=\frac{1}{2}\Big[-\frac{1}{2}\cos(2\varphi)\Big]_{0}^{\pi/2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\big(1-(-1)\big)=\frac{1}{2}.
(ou mais direto: a primitiva de \sin(2\varphi) é -\tfrac{1}{2}\cos(2\varphi), avaliando dá 1; com o fator \tfrac{1}{2} resulta \tfrac{1}{2}.)

Passo 6

Combinar os resultados das integrais para obter o numerador:
\int_{V} z\,\rho_{0}\,dV = \rho_{0}\cdot (2\pi)\cdot\left(\frac{a^{4}}{4}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\right) = \rho_{0}\cdot \frac{\pi a^{4}}{4}.

Passo 7

Calcular \bar z dividindo o numerador pela massa total M.
\bar z=\frac{\displaystyle \int_{V} z\,\rho_{0}\,dV}{M} =\frac{\rho_{0}\cdot \dfrac{\pi a^{4}}{4}}{\rho_{0}\cdot \dfrac{2}{3}\pi a^{3}}
Cancelar \rho_{0} e \pi a^{3}:
\bar z = \frac{a}{4}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3a}{8}.

Passo 8

Concluir a Questão 39, incluindo a interpretação geométrica e as coordenadas finais.
  • Por simetria \bar x=\bar y=0 e acabamos de calcular \bar z=\dfrac{3a}{8}.
  • Portanto o centro de massa do hemisfério (medido no sistema onde o centro da esfera está em (0,0,0) e a face plana está em z=0) é o ponto
\left(0,0,\frac{3a}{8}\right).

Passo 9

Agora começamos a resolver a Questão 40: entender o que significa “funil fino” e qual integral calcular.
  • O enunciado descreve uma superfície (funil fino) — isto é, uma casca/parte superficial do cone — e pede a massa total dessa superfície quando a densidade superficial é \rho(x,y,z)=10-z.
  • Para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v) com densidade superficial \sigma(\mathbf{r}), a massa é
m=\iint_{S}\sigma(\mathbf{r})\,dS,
onde dS é o elemento de área da superfície.
  • No nosso caso a superfície é a lateral do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} entre z=1 e z=4. Vou parametrizar usando coordenadas cilíndricas (ou variáveis r,\theta), pois a superfície é conical.

Passo 10

Parametrização do cone e cálculo do elemento de área dS.
  • Em coordenadas cilíndricas a superfície do cone pode ser escrita como z=r (porque r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e o cone é z=r).
  • Uma parametrização conveniente é
\mathbf{r}(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; r\big),
com parâmetros variando r\in[1,4] (porque z=r vai de 1 a 4) e \theta\in[0,2\pi].
  • Calcule as derivadas parciais:
\mathbf{r}_{r}=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1),\qquad \mathbf{r}_{\theta}=(-r\sin\theta,\; r\cos\theta,\;0).
  • O elemento de área é dS=\|\mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta}\|\,dr\,d\theta. Vamos calcular o produto vetorial:
\mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta}=(-r\cos\theta,\; -r\sin\theta,\; r).
  • O módulo é
\|\mathbf{r}_{r}\times\mathbf{r}_{\theta}\|=\sqrt{(-r\cos\theta)^{2}+(-r\sin\theta)^{2}+r^{2}} =\sqrt{r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+r^{2}} =\sqrt{2r^{2}}=r\sqrt{2}.
  • Assim
dS = r\sqrt{2}\,dr\,d\theta.

Passo 11

Escrever a integral da massa usando a densidade \rho(x,y,z)=10-z.
  • Na parametrização temos z=r. Então a densidade superficial em termos de r é \sigma(r,\theta)=10-r.
  • A massa é
m=\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{4} (10-r)\cdot (r\sqrt{2})\,dr\,d\theta.
  • Simplificar o integrando:
(10-r)(r\sqrt{2})=\sqrt{2}\,(10r-r^{2}).

Passo 12

Calcular a integral dupla separando as variáveis.
m=\sqrt{2}\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\left(\int_{1}^{4} (10r-r^{2})\,dr\right) = \sqrt{2}\cdot(2\pi)\cdot\int_{1}^{4}(10r-r^{2})\,dr.
  • Calcular a integral em r:
\int_{1}^{4}(10r-r^{2})\,dr = \left[5r^{2}-\frac{r^{3}}{3}\right]_{1}^{4}.
  • Avaliar em r=4:
5\cdot 4^{2}-\frac{4^{3}}{3}=5\cdot 16-\frac{64}{3}=80-\frac{64}{3}=\frac{240-64}{3}=\frac{176}{3}.
  • Avaliar em r=1:
5\cdot 1^{2}-\frac{1^{3}}{3}=5-\frac{1}{3}=\frac{14}{3}.
  • Subtrair:
\frac{176}{3}-\frac{14}{3}=\frac{162}{3}=54.

Passo 13

Finalizar o cálculo da massa usando o resultado da integral em r.
m= \sqrt{2}\cdot(2\pi)\cdot 54 = 108\pi\sqrt{2}.
  • Portanto a massa do funil fino (superfície lateral do cone entre z=1 e z=4) com densidade \rho=10-z é 108\pi\sqrt{2}.

Resposta

(0,0,\dfrac{3a}{8})
108\pi\sqrt{2}

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