Determine o centro de massa do hemisfério x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geqslant 0, se ele tiver densidade constante.
Determine a massa de um funil fino com o formato do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, 1 \leqslant z \leqslant 4, se sua função densidade é \rho(x, y, z)=10-z.
Passo 1
Enunciados e dados fornecidos:
Questão 39: Determinar o centro de massa do hemisfério dado por x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, com z\ge 0, assumindo densidade constante. Pergunta: encontrar as coordenadas do centro de massa (isto é, \bar x,\bar y,\bar z) do sólido hemisférico.
Dados relevantes extraídos do enunciado: \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, \;z\ge 0.
densidade constante (vou chamar de \rho_{0}).
simetria axial (espera-se \bar x=\bar y=0).
Questão 40: Determinar a massa de um funil fino com a forma do cone \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, para 1\le z\le 4, cuja função densidade é \rho(x,y,z)=10-z.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
superfície lateral do cone (funil fino) dada por z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, entre as alturas z=1 e z=4.
densidade superficial (função escalar) \rho(x,y,z)=10-z.
Pergunta: calcular a massa total do funil (integral de superfície da densidade).
Passo 2
Começando a resolver a Questão 39: esclarecer a fórmula do centro de massa para um corpo com densidade constante.
Definição útil: para um corpo de densidade \rho(\mathbf{r}), massa total é
No nosso caso a densidade é constante, \rho(\mathbf{r})=\rho_{0}. Isso simplifica porque \rho_{0} cancelará ao calcular \bar z. Além disso, por simetria axial em torno do eixo z temos imediatamente
\bar x=0,\qquad \bar y=0.
Resta calcular \bar z.
Passo 3
Calcular a massa M do hemisfério (com densidade constante \rho_{0}) para depois usar na fórmula de \bar z.
Volume do hemisfério: o volume de uma esfera de raio a é \tfrac{4}{3}\pi a^{3}. Um hemisfério tem metade desse volume, portanto
Aqui \rho_{0} é a densidade constante (pode cancelar depois).
Passo 4
Calcular o numerador \displaystyle \int_{V} z\,\rho_{0}\,dV que aparece em \bar z.
Vou usar coordenadas esféricas porque a região é naturalmente a metade de uma esfera. Em coordenadas esféricas usamos:
r = distância radial (variando 0 a a),
\varphi = ângulo polar medido a partir do eixo z (variando 0 a \tfrac{\pi}{2} para o hemisfério superior),
\theta = ângulo azimutal no plano xy (variando 0 a 2\pi).
As relações são
z=r\cos\varphi,
e o elemento de volume é
dV=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Então o integrando fica z\,\rho_{0}\,dV=\rho_{0}(r\cos\varphi)\,r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta=\rho_{0} r^{3}\cos\varphi\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Passo 5
Executar a integral triple separando em fatores que dependem de r,\varphi,\theta.
\bar z = \frac{a}{4}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3a}{8}.
Passo 8
Concluir a Questão 39, incluindo a interpretação geométrica e as coordenadas finais.
Por simetria \bar x=\bar y=0 e acabamos de calcular \bar z=\dfrac{3a}{8}.
Portanto o centro de massa do hemisfério (medido no sistema onde o centro da esfera está em (0,0,0) e a face plana está em z=0) é o ponto
\left(0,0,\frac{3a}{8}\right).
Passo 9
Agora começamos a resolver a Questão 40: entender o que significa “funil fino” e qual integral calcular.
O enunciado descreve uma superfície (funil fino) — isto é, uma casca/parte superficial do cone — e pede a massa total dessa superfície quando a densidade superficial é \rho(x,y,z)=10-z.
Para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v) com densidade superficial \sigma(\mathbf{r}), a massa é
m=\iint_{S}\sigma(\mathbf{r})\,dS,
onde dS é o elemento de área da superfície.
No nosso caso a superfície é a lateral do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} entre z=1 e z=4. Vou parametrizar usando coordenadas cilíndricas (ou variáveis r,\theta), pois a superfície é conical.
Passo 10
Parametrização do cone e cálculo do elemento de área dS.
Em coordenadas cilíndricas a superfície do cone pode ser escrita como z=r (porque r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e o cone é z=r).