Uma rede de difração com 15000 ranhuras por polegada ( 1 polegada =2,54 \mathrm{~cm} ) produz um espectro de uma lâmpada de mercúrio. A linha verde deste espectro tem um comprimento de onda de 546,1 \mathrm{~nm}. Qual é a separação angular entre as linhas verde de primeira e segunda ordem.

Passo 1

O enunciado pede a separação angular entre a linha verde de primeira ordem e a linha verde de segunda ordem produzidas por uma rede de difração.
Dados fornecidos:
\text{Número de ranhuras por polegada} = 15000ú
1\\ \text{polegada} = 2,54\\ \text{cm} = 0,0254\\ \text{m}
\text{Comprimento de onda da linha verde } \lambda = 546,1\\ \text{nm} = 5,461\times10^{-7}\\ \text{m}
Pergunta explícita: qual é a separação angular entre a linha de ordem m=1 e a linha de ordem m=2 (ou seja, \Delta\theta=\theta_2-\theta_1)?

Passo 2

Calcular a separação entre ranhuras d (espaçamento da rede). Se há 15000 ranhuras por polegada, então cada ranhura ocupa 1/15000 de polegada. Convertendo para metros:
d=\frac{0,0254\\ \mathrm{m}}{15000}=1,6933\times10^{-6}\\ \mathrm{m}
Aqui d é a distância entre ranhuras adjacentes (em metros).

Passo 3

Apresentar e explicar a equação da rede de difração. A lei de máximos para uma rede é:
d\sin\theta = m\lambda
Explicando cada símbolo:
  • d é o espaçamento entre ranhuras (m), já calculado;
  • \theta é o ângulo medido a partir da direção normal (perpendicular) à rede até o máximo de difração;
  • m é a ordem do máximo (inteiro: m=0,\pm1,\pm2,\dots);
  • \lambda é o comprimento de onda (m).
    Para cada ordem m resolvemos \theta=\arcsin\!\left(\dfrac{m\lambda}{d}\right), desde que \dfrac{m\lambda}{d}\le1.

Passo 4

Calcular o seno do ângulo para a primeira ordem ( m=1):
\sin\theta_1=\frac{1\cdot\lambda}{d}=\frac{5,461\times10^{-7}}{1,6933\times10^{-6}}=0,3226
Verificação: 0,3226\le1, logo existe o máximo de primeira ordem. Agora obter o ângulo usando a função arco-seno:
\theta_1=\arcsin(0,3226)\approx 18,84^\circ
Explanação curta: para passar de \sin\theta para \theta usamos \arcsin e convertemos o resultado para graus porque queremos a separação em graus.

Passo 5

Calcular o seno do ângulo para a segunda ordem ( m=2):
\sin\theta_2=\frac{2\cdot\lambda}{d}=\frac{2\cdot5,461\times10^{-7}}{1,6933\times10^{-6}}=0,6452
Verificação: 0,6452\le1, logo existe o máximo de segunda ordem. Obter o ângulo:
\theta_2=\arcsin(0,6452)\approx 40,19^\circ

Passo 6

Calcular a separação angular pedida, que é a diferença entre os ângulos de segunda e primeira ordem:
\Delta\theta=\theta_2-\theta_1=40,19^\circ-18,84^\circ=21,35^\circ
Interpretação: a linha verde de segunda ordem aparece aproximadamente 21,35^\circ afastada da de primeira ordem, medida ao longo da direção angular da rede.

Resposta

21,35^\circ

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