Uma lâmpada de sódio emite luz de 589 nm , que ilumina uma rede de difração com 5000 ranhuras/cm. Supondo que o feixe ilumine 1 cm da rede, calcule o desvio angular do feixe para as linhas de primeira e segunda ordens.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o desvio angular do feixe para as linhas de primeira e segunda ordens.
Dados fornecidos:
  • comprimento de onda: \lambda = 589\\ \text{nm} (vou converter para metros mais adiante);
  • densidade de ranhuras da rede: 5000\\ \text{ranhuras/cm};
  • extensão iluminada da rede: 1\\ \text{cm}.

Passo 2

Aqui eu ensino o conceito-chave que precisamos usar (passo a passo, sem pressa). Quando um feixe incide numa rede com ranhuras igualmente espaçadas, os máximos observados em certos ângulos ocorrem quando a diferença de caminho entre ondas vindas de ranhuras adjacentes é um múltiplo inteiro do comprimento de onda. Essa condição de máximos é dada pela fórmula
d\sin\theta = n\lambda,
onde:
  • d é o espaçamento entre ranhuras (distância entre ranhura e ranhura), em metros;
  • \theta é o ângulo de desvio medido a partir da normal à rede (o que o enunciado chama de “desvio angular”);
  • n é a ordem do máximo (um número inteiro: n=0,1,2,\dots);
  • \lambda é o comprimento de onda da luz, em metros.
Explicando a fórmula em palavras: se a projeção do espaçamento d na direção do feixe for tal que a diferença de caminho vale exatamente n vezes \lambda, as ondas chegam em fase e reforçam-se — é aí que aparece a linha de ordem n. Para usar essa fórmula precisamos calcular d e converter \lambda para metros.
Observação sobre a extensão iluminada: a informação de que 1\\ \text{cm} da rede é iluminado serve para saber quantas ranhuras efetivamente contribuem ( N), o que afeta a nitidez e intensidade das linhas (resolução), mas não muda a posição angular dada pela equação acima. Ainda assim, vou calcular N porque costuma aparecer nas questões.

Passo 3

Converter unidades e calcular d e N.
Comprimento de onda em metros:
\lambda = 589\\ \text{nm} = 589\times10^{-9}\\ \text{m} = 5,89\times10^{-7}\\ \text{m}.
Densidade da rede em ranhuras por metro:
5000\\ \text{ranhuras/cm} = \frac{5000}{0,01\\ \text{m}} = 5,00\times10^{5}\\ \text{ranhuras/m}.
Espaçamento entre ranhuras:
d = \frac{1}{\text{densidade}} = \frac{1}{5,00\times10^{5}\\ \text{m}^{-1}} = 2,00\times10^{-6}\\ \text{m}.
Número de ranhuras iluminadas (útil só para comentário sobre nitidez):
N = (\text{ranhuras por cm})\times(\text{cm iluminado}) = 5000\times1 = 5000\\ \text{ranhuras}.

Passo 4

Calcular o ângulo para a primeira ordem ( n=1).
Usamos a equação
d\sin\theta_1 = 1\cdot\lambda.
Isolando \sin\theta_1:
\sin\theta_1 = \frac{\lambda}{d} = \frac{5,89\times10^{-7}}{2,00\times10^{-6}} = 0,2945.
Agora obtemos o ângulo:
\theta_1 = \arcsin(0,2945).
Convertendo para graus (uso aproximação numérica padrão para \arcsin):
\theta_1 \approx 17,1^\circ.
Interpretação prática: a linha de primeira ordem aparece desviada aproximadamente 17,1^\circ da normal.

Passo 5

Calcular o ângulo para a segunda ordem ( n=2).
Usamos a equação
d\sin\theta_2 = 2\cdot\lambda.
Isolando \sin\theta_2:
\sin\theta_2 = \frac{2\lambda}{d} = 2\cdot0,2945 = 0,5890.
Agora o ângulo:
\theta_2 = \arcsin(0,5890).
Convertendo para graus:
\theta_2 \approx 36,1^\circ.
Interpretação prática: a linha de segunda ordem aparece desviada aproximadamente 36,1^\circ da normal.

Resposta

Primeira ordem: \theta_1 \approx 17,1^\circ
Segunda ordem: \theta_2 \approx 36,1^\circ

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