Uma rede trifásica 220 V está alimentando duas cargas trifásicas: Carga 1: 01 forno resistivo 8 \mathrm{~kW} / 220 \mathrm{~V}; Carga 2: 01 fonte de corrente contínua com saída de 10 kW , rendimento de 80 \% e F P=0,85. Pede-se:
a) Potência total consumida da rede e o fator de potência final;
b) Corrente consumida por cada carga e ângulo de fase;
c) Corrente total consumida da rede e ângulo de fase;
d) Corrente de projeto de cada carga e corrente de projeto total, considerando fator de segurança de 10 \%;
e) Corrente do disjuntor tipo industrial para cada carga e geral para a rede elétrica.

Passo 1

O enunciado dá uma rede trifásica com tensão de linha \,220\\ \text{V}\, alimentando duas cargas trifásicas. As informações relevantes (peguei todas do enunciado) e as perguntas são:
  • Dados:
    • Tensão de linha: \,V_L=220\\ \text{V}.
    • Carga 1 (forno resistivo): potência ativa total \,P_1=8{,}0\\ \text{kW}=8000\\ \text{W}. É resistiva, logo \text{PF}_1=1 e ângulo de fase \phi_1=0^\circ.
    • Carga 2 (fonte DC): potência útil de saída \,P_\text{out}=10{,}0\\ \text{kW}. Rendimento \,\eta=80\% =0{,}80. Fator de potência da entrada AC \text{PF}_2=0{,}85.
  • O que pediram:
    (a) Potência total consumida da rede e o fator de potência final (global).
    (b) Corrente consumida por cada carga e ângulo de fase (ou seja, a corrente por fase/linha de cada carga e sua defasagem).
    (c) Corrente total consumida da rede e ângulo de fase (corrente resultante que sai da rede).
    (d) Corrente de projeto de cada carga e corrente de projeto total, considerando fator de segurança de 10\%.
    (e) Seleção do disjuntor tipo industrial para cada carga e geral para a rede elétrica (ou seja, calibre de disjuntor justificando a escolha).

Passo 2

Principais fórmulas e conceitos (explicando passo a passo, sem pressupor conhecimento):
  • Em sistema trifásico equilibrado, a potência aparente total S (em VA) relaciona-se com tensão de linha V_L e corrente de linha I_L por
S=\sqrt{3}\,V_L I_L.
Aqui S é a magnitude da potência aparente (em VA), V_L é a tensão entre fases (em V) e I_L é a corrente de linha (em A).
  • A potência ativa P (em W) e reativa Q (em var) relacionam-se com S por
S=\sqrt{P^2+Q^2},\qquad \text{PF}=\frac{P}{S}=\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo de fase entre tensão e corrente; se a carga for indutiva (PF lagging) a corrente está atrasada em \varphi em relação à tensão.
  • Para uma carga com potência ativa P e fator de potência \text{PF}, a potência aparente é
S=\frac{P}{\text{PF}}.
A potência reativa correspondente é
Q=P\tan\varphi,\qquad\text{com }\varphi=\operatorname{arccos}(\text{PF}).
  • A corrente de linha correspondente a uma carga trifásica é
I_L=\frac{S}{\sqrt{3}\,V_L}=\frac{P}{\sqrt{3}\,V_L\,\text{PF}}.
  • Para somar cargas com natureza diferente, soma-se as potências ativas e reativas (componentes reais e imaginárias) e obtém-se a potência aparente total e o fator de potência global por:
P_\text{tot}=\sum P,\qquad Q_\text{tot}=\sum Q,\qquad S_\text{tot}=\sqrt{P_\text{tot}^2+Q_\text{tot}^2},
\text{PF}_\text{tot}=\frac{P_\text{tot}}{S_\text{tot}},\qquad \phi_\text{tot}=\arctan\!\left(\frac{Q_\text{tot}}{P_\text{tot}}\right).
  • Observação sobre ângulos: "corrente defasada de \varphi" significa a corrente tem um argumento (fásor) \,-\varphi se a carga é indutiva (lagging). Para PF=1 o ângulo é \,0^\circ.
Usarei essas fórmulas passo a passo calculando primeiro cada carga isoladamente e depois somando.

Passo 3

Calcular a corrente da Carga 1 (forno resistivo):
  • É puramente resistiva: \text{PF}_1=1 e P_1=8000\\ \text{W}.
  • A corrente de linha é
I_1=\frac{P_1}{\sqrt{3}\,V_L}.
Substituindo \,V_L=220\\ \text{V} e \sqrt{3}\approx1{,}73205,
I_1=\frac{8000}{\sqrt{3}\cdot 220}=\frac{8000}{1{,}73205\cdot220} \approx \frac{8000}{381{,}05}\approx 21{,}0\\ \text{A}.
  • Ângulo de fase: \phi_1=0^\circ (corrente em fase com a tensão).
Explicação rápida: como é resistivo, não há componente reativa, então toda a potência é ativa e a corrente não é defasada.

Passo 4

Calcular a potência de entrada e a corrente da Carga 2 (fonte DC):
  • A fonte entrega P_\text{out}=10{,}0\\ \text{kW}. Com rendimento \eta=0{,}80, a potência ativa absorvida da rede (entrada AC) é
P_2=\frac{P_\text{out}}{\eta}=\frac{10000}{0{,}80}=12500\\ \text{W}.
  • O fator de potência da entrada é \text{PF}_2=0{,}85. Logo a potência aparente é
S_2=\frac{P_2}{\text{PF}_2}=\frac{12500}{0{,}85}\approx 14705{,}882\\ \text{VA}.
  • O ângulo de defasagem \phi_2 é
\phi_2=\operatorname{arccos}(\text{PF}_2)=\operatorname{arccos}(0{,}85)\approx 31{,}79^\circ.
Isso significa corrente atrasada (lagging) de aproximadamente 31{,}79^\circ.
  • A potência reativa associada é
Q_2=P_2\tan\phi_2.
Calculando \tan\phi_2=\tan(\operatorname{arccos}(0{,}85))\approx 0{,}6197, então
Q_2\approx 12500\cdot 0{,}6197\approx 7747\\ \text{var}.
  • A corrente de linha (magnitute) é
I_2=\frac{S_2}{\sqrt{3}\,V_L}=\frac{14705{,}882}{\sqrt{3}\cdot220}\approx\frac{14705{,}882}{381{,}05}\approx 38{,}6\\ \text{A}.
  • Como é indutiva (PF lagging), o fásor de corrente é \,I_2\angle(-\phi_2)\approx 38{,}6\angle(-31{,}79^\circ)\\ \text{A}.
Resumo da Carga 2: \,P_2=12500\\ \text{W},\\ S_2\approx14705{,}9\\ \text{VA},\\ Q_2\approx7747\\ \text{var},\\ I_2\approx38{,}6\\ \text{A},\\ \phi_2\approx31{,}79^\circ (corrente atrasada).

Passo 5

Somar as cargas (potências ativa e reativa) para obter grandezas totais e o fator de potência final:
  • Potência ativa total:
P_\text{tot}=P_1+P_2=8000+12500=20500\\ \text{W}.
  • Potência reativa total (a Carga 1 tem Q_1=0):
Q_\text{tot}=Q_1+Q_2=0+7747\approx 7747\\ \text{var}.
  • Potência aparente total:
S_\text{tot}=\sqrt{P_\text{tot}^2+Q_\text{tot}^2}=\sqrt{20500^2+7747^2}\approx 21915{,}7\\ \text{VA}.
  • Fator de potência global:
\text{PF}_\text{tot}=\frac{P_\text{tot}}{S_\text{tot}}=\frac{20500}{21915{,}7}\approx 0{,}936.
Isto é, PF final aproximadamente 0{,}936 (lagging).
  • Ângulo total:
\phi_\text{tot}=\arctan\!\left(\frac{Q_\text{tot}}{P_\text{tot}}\right)=\arctan\!\left(\frac{7747}{20500}\right)\approx 20{,}73^\circ.
Corrente total em módulo:
I_\text{tot}=\frac{S_\text{tot}}{\sqrt{3}\,V_L}=\frac{21915{,}7}{\sqrt{3}\cdot220}\approx\frac{21915{,}7}{381{,}05}\approx 57{,}5\\ \text{A}.
O fásor de corrente total é \,I_\text{tot}\angle(-\phi_\text{tot})\approx 57{,}5\angle(-20{,}73^\circ)\\ \text{A} (lagging).
Breve interpretação didática: mesmo com o forno plenamente resistivo, a fonte com PF baixo puxa reativo; isso eleva a corrente aparente e reduz um pouco o PF global, mas como o forno dá muita potência ativa, o PF global ainda fica razoavelmente alto ( \approx0{,}936).

Passo 6

Correntes de projeto com fator de segurança de 10\%:
  • Aplicar margem de 10\% significa multiplicar cada corrente por 1{,}10.
I_{1,\text{proj}}=1{,}10\cdot I_1=1{,}10\cdot 21{,}0\approx 23{,}1\\ \text{A}.
I_{2,\text{proj}}=1{,}10\cdot I_2=1{,}10\cdot 38{,}6\approx 42{,}5\\ \text{A}.
I_{\text{tot,proj}}=1{,}10\cdot I_\text{tot}=1{,}10\cdot 57{,}5\approx 63{,}3\\ \text{A}.
Comentário prático: projetar com margem evita que o disjuntor trabalhe sempre no limite; cobre tolerâncias e picos transitórios.

Passo 7

Seleção do disjuntor (tipo industrial) para cada carga e para a entrada geral:
  • Critério usado: escolher um disjuntor com corrente nominal padrão imediatamente acima da corrente de projeto. Em instalações industriais usa-se selecionar o próximo valor comercial de disjuntor para garantir proteção e margem.
  • Valores de corrente de projeto obtidos: \,I_{1,\text{proj}}\approx 23{,}1\\ \text{A}, \,I_{2,\text{proj}}\approx 42{,}5\\ \text{A}, \,I_{\text{tot,proj}}\approx 63{,}3\\ \text{A}.
  • Escolhas típicas (valores comerciais comuns: 25, 32, 40, 50, 63, 80 A, etc.):
    • Para a Carga 1 (projeto 23{,}1\\ \text{A}): escolher disjuntor de \mathbf{25\\ \text{A}}. (Alternativa segura: 32\\ \text{A} se desejar mais folga ou considerar inércias térmicas.)
    • Para a Carga 2 (projeto 42{,}5\\ \text{A}): escolher disjuntor de \mathbf{50\\ \text{A}}.
    • Para a entrada/geral (projeto 63{,}3\\ \text{A}): o próximo padrão acima é \mathbf{80\\ \text{A}} (porque 63\\ \text{A} fica ligeiramente abaixo do projeto e normalmente se escolhe a próxima faixa). Pode-se usar 80\\ \text{A} com curva adequada ao tipo de carga.
  • Observações importantes (didáticas):
    • A escolha do disjuntor também depende do tipo de curva (B, C, D) e da coordenação com proteção downstream — aqui assumi curvas industriais adequadas; por exemplo cargas puramente resistivas podem tolerar curva B/C, cargas com inrush (motores, fontes com capacitores) podem exigir curvas C ou D.
    • Também é comum respeitar correntes contínuas admissíveis dos condutores e temperatura ambiente; aqui considerei apenas o dimensionamento elétrico básico solicitado.

Passo 8

Resumo final dos resultados numéricos (valores arredondados de forma razoável):
  • Carga 1:
    • P_1=8000\\ \text{W}.
    • I_1\approx 21{,}0\\ \text{A}, ângulo \,0^\circ (corrente em fase).
    • Corrente de projeto I_{1,\text{proj}}\approx 23{,}1\\ \text{A}.
    • Disjuntor sugerido: 25\\ \text{A}.
  • Carga 2:
    • Potência de entrada P_2=12500\\ \text{W}.
    • \text{PF}_2=0{,}85\Rightarrow \phi_2\approx 31{,}79^\circ.
    • S_2\approx 14705{,}9\\ \text{VA}.
    • Q_2\approx 7747\\ \text{var}.
    • I_2\approx 38{,}6\\ \text{A}, fásor \,38{,}6\angle(-31{,}79^\circ)\\ \text{A}.
    • Corrente de projeto I_{2,\text{proj}}\approx 42{,}5\\ \text{A}.
    • Disjuntor sugerido: 50\\ \text{A}.
  • Total (rede):
    • P_\text{tot}=20500\\ \text{W}.
    • Q_\text{tot}\approx 7747\\ \text{var}.
    • S_\text{tot}\approx 21915{,}7\\ \text{VA}.
    • \text{PF}_\text{tot}\approx 0{,}936 (lagging).
    • I_\text{tot}\approx 57{,}5\\ \text{A}, fásor \,57{,}5\angle(-20{,}73^\circ)\\ \text{A}.
    • Corrente de projeto total I_{\text{tot,proj}}\approx 63{,}3\\ \text{A}.
    • Disjuntor geral sugerido: 80\\ \text{A}.

Resposta

(a) Potência total consumida: P_\text{tot}=20500\\ \text{W}. Fator de potência final: \text{PF}_\text{tot}\approx 0{,}936 (lagging).
(b) Carga 1: I_1\approx 21{,}0\\ \text{A}, ângulo 0^\circ.
Carga 2: I_2\approx 38{,}6\\ \text{A}, ângulo -31{,}79^\circ (corrente atrasada).
(c) Corrente total: I_\text{tot}\approx 57{,}5\\ \text{A}, ângulo -20{,}73^\circ (corrente atrasada).
(d) Correntes de projeto (10% de segurança): Carga 1: I_{1,\text{proj}}\approx 23{,}1\\ \text{A}. Carga 2: I_{2,\text{proj}}\approx 42{,}5\\ \text{A}. Total: I_{\text{tot,proj}}\approx 63{,}3\\ \text{A}.
(e) Disjuntores sugeridos (próximo padrão comercial acima da corrente de projeto): Carga 1: \mathbf{25\\ \text{A}}. Carga 2: \mathbf{50\\ \text{A}}. Geral/entrada: \mathbf{80\\ \text{A}}.

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