Uma rede trifásica com neutro, 220 \mathrm{~V} / 127 \mathrm{~V}, será utilizada para alimentar uma bancada de teste trifásica de 10 \mathrm{kVA} / 220 \mathrm{~V}-127 \mathrm{~V} e \mathrm{FP}=0,75, tendo o circuito 60 m e condutores de cobre de 16 \mathrm{~mm}^{2} em PVC com impedância \mathrm{Zc}=(1,38 +\mathrm{j} 0,12) \Omega / \mathrm{km}. Pede-se:
a) Potências consumidas pela bancada;
b) Corrente consumida e ângulo de fase;
c) Potências ativa e reativa perdidas na rede;
d) Queda de tensão na rede elétrica;
e) Tensão real na bancada.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (peguei estes dados do enunciado). Dados fornecidos:
  • Banco de prova trifásico com potência aparente S_{\text{banco}} = 10\\ \text{kVA}.
  • Fator de potência do banco \mathrm{FP}=0{,}75 (assumir indutivo, isto é, corrente defasada para trás).
  • Tensão nominal da rede trifásica 220\\ \mathrm{V}/127\\ \mathrm{V} (isto é, V_{LL}=220\\ \mathrm{V} e V_{ph}=127\\ \mathrm{V}).
  • Comprimento do circuito (uma perna, fonte → carga): \ell = 60\\ \mathrm{m} = 0{,}06\\ \mathrm{km}.
  • Impedância do cabo por quilômetro Z_c = (1{,}38 + j\,0{,}12)\\ \Omega/\mathrm{km}.
  • Condutor de cobre, seção 16\\ \mathrm{mm}^2 (já considerada nas impedâncias fornecidas).
    O enunciado pede:
    (a) potências consumidas pela bancada (aparente, ativa, reativa);
    (b) corrente consumida e ângulo de fase;
    (c) potências ativa e reativa perdidas na rede (linha);
    (d) queda de tensão na rede elétrica;
    (e) tensão real na bancada (após a queda).

Passo 2

Calcular as potências do banco (explicando as fórmulas).
  • Potência aparente total é dada no enunciado: S = 10\\ \text{kVA} = 10000\\ \mathrm{VA}.
  • A potência ativa P (energia útil consumida) relaciona-se com o fator de potência pela fórmula
P = S\cdot\mathrm{FP},
onde P está em watts (W), S em volt-ampère (VA) e \mathrm{FP}=\cos\varphi.
  • A potência reativa Q (em var) satisfaz
Q = S\sqrt{1-\mathrm{FP}^2}.
Cálculo numérico:
P = 10000\cdot 0{,}75 = 7500\\ \mathrm{W}.
Q = 10000\sqrt{1-0{,}75^2} = 10000\sqrt{1-0{,}5625}=10000\sqrt{0{,}4375}=10000\cdot 0{,}6614378\approx6614{,}4\\ \mathrm{var}.
Observação didática rápida: S^2 = P^2 + Q^2. Aqui 10000^2 = 7500^2 + 6614{,}4^2 (checagem).

Passo 3

Calcular a corrente de linha e o ângulo de fase (explicando a fórmula).
Para uma carga trifásica equilibrada em tensão linha-linha V_{LL}, a relação entre S, V_{LL} e a corrente de linha I é
S = \sqrt{3}\,V_{LL}\,I.
Isolando I:
I = \frac{S}{\sqrt{3}\,V_{LL}}.
Usando V_{LL}=220\\ \mathrm{V} e S=10000\\ \mathrm{VA}:
I = \frac{10000}{\sqrt{3}\cdot 220}.
Cálculo:
\sqrt{3}\cdot 220 \approx 1{,}7320508\cdot 220 = 381{,}0512,
I \approx \frac{10000}{381{,}0512}\approx 26{,}2499\\ \mathrm{A}\approx 26{,}25\\ \mathrm{A}.
O ângulo de fase \varphi entre tensão e corrente é dado por
\varphi = \operatorname{arccos}(\mathrm{FP}) = \operatorname{arccos}(0{,}75).
\varphi \approx 41{,}4096^\circ\\ (\text{corrente defasada, "lagging"}).
Didática: em prova memorize S=\sqrt{3}V_{LL}I (trifásico equilibrado) e P=S\cos\varphi.

Passo 4

Determinar a impedância do trecho do cabo e formular as perdas (explicando a escala da impedância).
A impedância por fase do cabo para o comprimento \ell é
Z = Z_c\cdot \ell,
onde \ell está em km. Substituindo Z_c=(1{,}38+j\,0{,}12)\\ \Omega/\mathrm{km} e \ell=0{,}06\\ \mathrm{km}:
Z = (1{,}38+j\,0{,}12)\cdot 0{,}06 = (0{,}0828 + j\,0{,}0072)\\ \Omega.
O valor real R=0{,}0828\\ \Omega é a resistência por fase ida (fonte→carga). Como estamos considerando alimentador simples e corrente retorna pelo condutor de retorno correspondente em cada fase, a perda ativa total trifásica é
P_{\text{perda}} = 3 I^2 R.
Cálculo:
I^2 \approx (26{,}2499)^2 \approx 689{,}0603,
P_{\text{perda}} = 3\cdot 689{,}0603\cdot 0{,}0828 \approx 171{,}19\\ \mathrm{W}.
A potência reativa absorvida pela reatância do cabo (energia reativa associada) é
Q_{\text{linha}} = 3 I^2 X,
com X=0{,}0072\\ \Omega:
Q_{\text{linha}} = 3\cdot 689{,}0603\cdot 0{,}0072 \approx 14{,}88\\ \mathrm{var}.
Observação: é comum apresentar as perdas como um número real (ativa) e a componente reativa do “consumo” do cabo; aqui a perda ativa é a que aquece o cabo e é a mais relevante.

Passo 5

Calcular a queda de tensão (explicando o método vetorial/phásor).
Em circuito AC devemos tratar tensões e correntes como fasores. A queda de tensão por fase (fasor) é
\Delta V_{\text{fase}} = I_{\text{fasor}}\cdot Z,
onde I_{\text{fasor}} = I\angle(-\varphi) (tomando a tensão de fonte como referência em 0^\circ e corrente atrasada por \varphi). Já sabemos I e \varphi, e Z=R+jX.
Cálculo do módulo e ângulo de Z:
|Z| = \sqrt{R^2+X^2} = \sqrt{0{,}0828^2+0{,}0072^2}\approx 0{,}08313\\ \Omega,
\theta_Z = \arctan\!\left(\frac{X}{R}\right) \approx \arctan\!\left(\frac{0{,}0072}{0{,}0828}\right)\approx 4{,}977^\circ.
Então o fasor de \Delta V_{\text{fase}} tem módulo
|\Delta V_{\text{fase}}| = I\cdot |Z| \approx 26{,}2499\cdot 0{,}08313 \approx 2{,}182\\ \mathrm{V},
e ângulo
\angle\Delta V_{\text{fase}} = -\varphi + \theta_Z \approx -41{,}4096^\circ + 4{,}977^\circ = -36{,}4326^\circ.
Convertendo para componentes retas (útil para subtrair da tensão de fonte):
\Delta V_{\text{fase}} \approx 2{,}182\angle(-36{,}433^\circ)\\ \mathrm{V} \approx (1{,}753 - j\,1{,}298)\\ \mathrm{V}.
Didática: a queda não é só um número real; ela tem parte real (causada por R) e imaginária (causada por X), por isso usamos fasores.

Passo 6

Calcular a tensão real na carga (após a queda), fase a fase, e então a tensão linha-linha na bancada.
Tomando a tensão de fonte por fase como referência V_{\text{fase,f}} = 127\angle 0^\circ\\ \mathrm{V} (pegamos 127\\ \mathrm{V} do enunciado para V_{ph}):
V_{\text{fase,carga}} = V_{\text{fase,f}} - \Delta V_{\text{fase}}.
Substituindo o valor vetorial:
V_{\text{fase,carga}} \approx 127\angle 0^\circ - (1{,}753 - j\,1{,}298)\\ \mathrm{V} \approx (125{,}247 + j\,1{,}298)\\ \mathrm{V}.
Módulo da tensão por fase na carga:
|V_{\text{fase,carga}}| = \sqrt{125{,}247^2 + 1{,}298^2}\approx 125{,}254\\ \mathrm{V}.
A tensão linha-linha na bancada é
V_{LL,\text{carga}} = \sqrt{3}\,|V_{\text{fase,carga}}| \approx 1{,}7320508\cdot 125{,}254 \approx 216{,}84\\ \mathrm{V}.
A queda de tensão em termos de linha-linha (comparando 220\\ \mathrm{V} da fonte com o obtido na carga) é
\Delta V_{LL} = V_{LL,\text{fonte}} - V_{LL,\text{carga}} \approx 220 - 216{,}84 \approx 3{,}16\\ \mathrm{V},
o que corresponde a uma queda percentual
\frac{\Delta V_{LL}}{220}\cdot 100\% \approx \frac{3{,}16}{220}\cdot100\%\approx 1{,}44\%.
Comentário didático: interpretação prática — a queda é pequena (alguns volts), as perdas ativas na linha são relativamente pequenas comparadas aos 7{,}5\\ \mathrm{kW} do banco.

Resposta

(a) S=10\\ \text{kVA}, P=7500\\ \mathrm{W}, Q\approx6614{,}4\\ \mathrm{var}.
(b) I\approx26{,}25\\ \mathrm{A}, \varphi\approx41{,}41^\circ (corrente atrasada/lagging).
(c) P_{\text{perda}}\approx171{,}2\\ \mathrm{W}, Q_{\text{linha}}\approx14{,}9\\ \mathrm{var}.
(d) Queda de tensão (linha a linha) \Delta V_{LL}\approx3{,}16\\ \mathrm{V} (≈1,44%).
(e) Tensão real na bancada: V_{LL,\text{carga}}\approx216{,}84\\ \mathrm{V} (tensão por fase |V_{\text{fase,carga}}|\approx125{,}25\\ \mathrm{V}).

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