Reduza cada uma das matrizes seguintes à forma escalonada e depois à forma canônica por linhas. Determine o posto de cada uma das matrizes.
(d) \left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 3 & 8 & 12 \\\\ 0 & 0 & 4 & 6 \\\\ 0 & 2 & 7 & 10\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para reduzir por linhas, primeiro à forma escalonada (Gaussian echelon form) e depois à forma canônica por linhas (reduced row echelon form) da matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 3 & 8 & 12\\\\ 0 & 0 & 4 & 6\\\\ 0 & 2 & 7 & 10 \end{pmatrix},
e em seguida determinar o posto. Vamos usar eliminação de Gauss: identificar pivôs coluna a coluna, zerar abaixo (para a forma escalonada) e depois zerar acima e normalizar (para a forma canônica).

Passo 2

Observamos que a primeira coluna de A é toda zero, então o primeiro pivô aparece na coluna 2, linha 1. Usamos \text{L}_2\leftarrow\text{L}_2-3\,\text{L}_1 e \text{L}_4\leftarrow\text{L}_4-2\,\text{L}_1. Isso leva a
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 4 & 6\\\\ 0 & 0 & 3 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora o pivô seguinte está em coluna 3, linha 2. Zeramos abaixo: \text{L}_3\leftarrow\text{L}_3-2\,\text{L}_2 e \text{L}_4\leftarrow\text{L}_4-\tfrac32\,\text{L}_2. Obtemos
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & -\tfrac12 \end{pmatrix}.
Trocando linha 3 com linha 4 para subir o não nulo, fica
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
que é a forma escalonada.

Passo 4

Para preparar a forma canônica, normalizamos cada linha-pivô dividindo por seu elemento de pivô: \text{L}_2\leftarrow\tfrac12\,\text{L}_2 e \text{L}_3\leftarrow(-2)\,\text{L}_3. Obtemos
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac32\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora zeramos acima de cada pivô:
– Para a coluna 4, \text{L}_1\leftarrow\text{L}_1-3\,\text{L}_3 e \text{L}_2\leftarrow\text{L}_2-\tfrac32\,\text{L}_3.
– Para a coluna 3, \text{L}_1\leftarrow\text{L}_1-2\,\text{L}_2.
Isso leva à forma canônica por linhas
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 6

O número de linhas não nulas em qualquer dessas formas é 3, logo o posto da matriz é 3.

Resposta

Forma escalonada por linhas:
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & -\tfrac12\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Forma canônica por linhas (RREF):
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Posto da matriz: 3.

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