Reduza cada uma das matrizes seguintes à forma escalonada e depois à forma canônica por linhas. Determine o posto de cada uma das matrizes.
(d) \left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 3 & 8 & 12 \\\\ 0 & 0 & 4 & 6 \\\\ 0 & 2 & 7 & 10\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para reduzir por linhas, primeiro à forma escalonada (Gaussian echelon form) e depois à forma canônica por linhas (reduced row echelon form) da matriz
e em seguida determinar o posto. Vamos usar eliminação de Gauss: identificar pivôs coluna a coluna, zerar abaixo (para a forma escalonada) e depois zerar acima e normalizar (para a forma canônica).
Passo 2
Observamos que a primeira coluna de A é toda zero, então o primeiro pivô aparece na coluna 2, linha 1. Usamos \text{L}_2\leftarrow\text{L}_2-3\,\text{L}_1 e \text{L}_4\leftarrow\text{L}_4-2\,\text{L}_1. Isso leva a
Agora o pivô seguinte está em coluna 3, linha 2. Zeramos abaixo: \text{L}_3\leftarrow\text{L}_3-2\,\text{L}_2 e \text{L}_4\leftarrow\text{L}_4-\tfrac32\,\text{L}_2. Obtemos
Para preparar a forma canônica, normalizamos cada linha-pivô dividindo por seu elemento de pivô: \text{L}_2\leftarrow\tfrac12\,\text{L}_2 e \text{L}_3\leftarrow(-2)\,\text{L}_3. Obtemos
Agora zeramos acima de cada pivô:
– Para a coluna 4, \text{L}_1\leftarrow\text{L}_1-3\,\text{L}_3 e \text{L}_2\leftarrow\text{L}_2-\tfrac32\,\text{L}_3.
– Para a coluna 3, \text{L}_1\leftarrow\text{L}_1-2\,\text{L}_2.
Isso leva à forma canônica por linhas