Classifique cada sistema linear seguinte. Se possível determine o conjunto solução de cada sistema.
(a) \left\{\begin{array}{l}2 x-y+3 z=11 \\\\ 4 x-3 y+2 z=0 \\\ x+y+z=6 \\\\ 3 x+y+z=4\end{array}\right.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos o sistema de quatro equações lineares em três incógnitas x,y,z:
(3)\quad x + y + z = 6, \quad (4)\quad 3x + y + z = 4.
O objetivo é usar eliminação de Gauss para encontrar o conjunto-solução e classificar o sistema como possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.
Passo 2
Para eliminar incógnitas, subtraímos a equação (3) de (4):
(4)-(3):\quad (3x+y+z)-(x+y+z)=4-6
Logo
2x = -2
e daí
x = -1.
Passo 3
Substituindo x=-1 na equação (3),
-1 + y + z = 6
temos
y + z = 7.
Denotamos essa relação por (5).
Passo 4
Substituindo x=-1 na equação (1),
2(-1) - y + 3z = 11
vem
-2 - y + 3z = 11 \quad\Longrightarrow\quad -y + 3z = 13 \quad\Longrightarrow\quad y = 3z - 13.
Chamamos isso de (6).
Passo 5
Agora resolvemos o sistema formado por (5)\) e \((6)\):
\[\begin{cases} y + z = 7,\\\ y = 3z - 13. \end{cases}
Substituindo y\] de \((6) em (5):
(3z - 13) + z = 7 \quad\Longrightarrow\quad 4z = 20 \quad\Longrightarrow\quad z = 5.