Reduza cada uma das matrizes seguintes à forma escalonada e depois à forma canônica por linhas. Determine o posto de cada uma das matrizes.
(c) \left[\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 \\\\ 2 & 4 & 3 & 5 & 5 & 7 \\\\ 3 & 6 & 4 & 9 & 10 & 11 \\\\ 1 & 2 & 4 & 3 & 6 & 9\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para reduzir à forma escalonada e depois à forma canônica por linhas a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2\\\\ 2 & 4 & 3 & 5 & 5 & 7\\\\ 3 & 6 & 4 & 9 & 10 & 11\\\\ 1 & 2 & 4 & 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}
e, em seguida, determinar o posto de A. Vamos usar eliminação de Gauss para obter primeiro a forma escalonada (REF) e depois a forma reduzida (RREF).

Passo 2

Escolhemos como pivô a entrada a_{11}=1. Para zerar abaixo fazemos
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1,\quad R_4 \leftarrow R_4 - R_1
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 7 & 5\\\\ 0 & 0 & 3 & 1 & 5 & 7 \end{pmatrix}.

Passo 3

A segunda coluna contém zeros abaixo da primeira linha, então pulamos para a terceira coluna. O novo pivô é a_{23}=1. Eliminamos abaixo:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2,\quad R_4 \leftarrow R_4 - 3R_2
e a matriz vira
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 4 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & -2 & -4 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora o pivô em R_3 está na quarta coluna, a_{34}=2. Dividimos a linha por 2 e eliminamos abaixo:
R_3 \leftarrow \tfrac12R_3,\quad R_4 \leftarrow R_4 + 2R_3
resultando na forma escalonada
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para chegar à forma canônica (RREF), eliminamos acima de cada pivô. Primeiro, com pivô em R_3:
R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3,\quad R_2 \leftarrow R_2 - R_3
depois, com pivô em R_2:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
Isso dá a forma reduzida
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & -4 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Resposta

A forma escalonada de A é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
a forma canônica por linhas (RREF) é
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 & -4 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
e o posto de A é 3.

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