Reduza a Eq. (6.3) para uma expressão para o caminho livre médio em termos de pressão em micrômetros, temperatura em graus kelvin, peso molecular do gás e diâmetro molecular efetivo.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra “reduzir” a Eq. (6.3) até chegar numa fórmula do caminho-livre médio (λ) só em função de
  • pressão em micrômetros de Hg (p_μm),
  • temperatura em kelvin (T),
  • peso molecular do gás (M) e
  • diâmetro molecular efetivo (d).
Isso é parte de teoria cinética dos gases e a gente vai precisar de:
  1. A expressão básica do caminho-livre médio: lambda ;=;kB,Traiz2,pi,d^2,p,,
  2. A lei dos gases ideais pra relacionar pressão e densidade (ou número de moléculas),
  3. Conversão de unidades (micrômetro de Hg → Pascal),
  4. Constantes:
    • = constante de Boltzmann,
    • , se quisermos expressar em termos de M.

Passo 2

Vamos começar lembrando a fórmula inicial (Eq. 6.3):
lambda ;=;kB,Traiz2,pi,d^2,p,,
onde
  • é a constante de Boltzmann (J/K),
  • é a temperatura (K),
  • é o diâmetro molecular (m),
  • é a pressão (Pa).
Isso vem de você calcular a distância média entre colisões em função da densidade de moléculas , e usar (lei dos gases ideais).

Passo 3

Queremos colocar ali pressão em micrômetros de Hg, p ;=; pmurm mtimes10^-6,(rm Torr);times133,322;(rm Pa/Torr) ;=;1,33322times10^-4;pmurm m[rm Pa] .
1 micrômetro de Hg = lambda ;=;kB,Traiz2,pi,d^2,l(1,33322times10^-4,pmurm mr) Torr,
1 Torr = 133,322 Pa.
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Substituindo em :

Passo 4

Para incluir o peso molecular kB = RNA, Mrm kg/mol = Mrm g/mol1000 na brincadeira, podemos trocar lambda = RNA,T raiz2,pi,d^2,(1,33322times10^-4,pmurm m) = R,Traiz2,pi,NA,d^2,(1,33322times10^-4,pmurm m) por e lembrar que está em kg/mol:
Mas, no fundo, o acaba se cancelando (o caminho-livre médio independe do peso molecular!). Mesmo assim, vamos deixar a fórmula reconhecendo :

Passo 5

Bora jogar os valores numéricos das constantes e simplificar (mantendo Rraiz2,pi,NA,1,33322times10^-4 approx 2,33times10^-20[rm mcdot K^-1cdot Pa^-1cdot μm^-1] em metros e lambda approx 2,33times10^-20;T d^2;pmurm m [rm m] em μm Hg):
  • ,
  • .
O fator numérico fica
μ
Então sobra

Resposta

boxed lambda = 2,33times10^-20;T d^2;pmurm m (metros),
onde
em kelvin,
em metros,
em micrômetros de Hg.

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