Reduza a Eq. (6.3) para uma expressão para o caminho livre médio em termos de pressão em micrômetros, temperatura em graus kelvin, peso molecular do gás e diâmetro molecular efetivo.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra “reduzir” a Eq. (6.3) até chegar numa fórmula do caminho-livre médio (λ) só em função de
- pressão em micrômetros de Hg (p_μm),
- temperatura em kelvin (T),
- peso molecular do gás (M) e
- diâmetro molecular efetivo (d).
Isso é parte de teoria cinética dos gases e a gente vai precisar de:
- A expressão básica do caminho-livre médio:
- A lei dos gases ideais pra relacionar pressão e densidade (ou número de moléculas),
- Conversão de unidades (micrômetro de Hg → Pascal),
- Constantes:
-
= constante de Boltzmann, -
, se quisermos expressar em termos de M.
-
Passo 2
Vamos começar lembrando a fórmula inicial (Eq. 6.3):
onde
-
é a constante de Boltzmann (J/K), -
é a temperatura (K), -
é o diâmetro molecular (m), -
é a pressão (Pa).
Isso vem de você calcular a distância média entre colisões em função da densidade de moléculas
, e usar
(lei dos gases ideais).
Passo 3
Queremos colocar ali pressão em micrômetros de Hg,
.
1 micrômetro de Hg = Torr,
1 Torr = 133,322 Pa.
Logo
1 micrômetro de Hg =
1 Torr = 133,322 Pa.
Logo
Substituindo em
:
Passo 4
Para incluir o peso molecular
na brincadeira, podemos trocar
por
e lembrar que
está em kg/mol:
Mas, no fundo, o
acaba se cancelando (o caminho-livre médio independe do peso molecular!). Mesmo assim, vamos deixar a fórmula reconhecendo
:
Passo 5
Bora jogar os valores numéricos das constantes e simplificar (mantendo
em metros e
em μm Hg):
-
, -
.
O fator numérico fica
Então sobra
Resposta
onde
– em kelvin,
– em metros,
– em micrômetros de Hg.
–
–
–