Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral
e pede que se inverta a ordem de integração e que se calcule a integral resultante.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A variável externa é
com . - Para cada
fixo, a variável interna varia de até . - A função integranda é
, que depende apenas de .
Passo 2
Vamos entender a região de integração no plano
. A fronteira dada por
é equivalentes a
uma parábola. A condição
e
descreve os pontos com:
-
entre e (porque e o máximo de para é ), - para um
fixo em , a condição equivalendo a dá
Portanto, ao inverter a ordem,
vai de
a
e, para cada
,
vai de
a
.
Passo 3
Escrevendo a integral com a ordem trocada:
Passo 4
A integranda
não depende de
. Assim, a integral interna em
é simples:
Assim a integral dupla se reduz a uma integral única:
Passo 5
Para calcular
usamos a substituição usual para compostas do tipo
. Seja
Os limites mudam para
e
. Portanto