Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
\int_{0}^{9} \int_{\sqrt{y}}^{3} \operatorname{sen} x^{3} d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int_{0}^{9}\int_{\sqrt{y}}^{3}\sin\bigl(x^{3}\bigr)\,dx\,dy
e pede que se inverta a ordem de integração e que se calcule a integral resultante.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável externa é y com 0\le y\le 9.
  • Para cada y fixo, a variável interna x varia de x=\sqrt{y} até x=3.
  • A função integranda é \sin\bigl(x^{3}\bigr), que depende apenas de x.

Passo 2

Vamos entender a região de integração no plano (x,y). A fronteira dada por x=\sqrt{y} é equivalentes a
y=x^{2},
uma parábola. A condição \sqrt{y}\le x\le 3 e 0\le y\le 9 descreve os pontos com:
  • x entre 0 e 3 (porque \sqrt{y}\ge 0 e o máximo de \sqrt{y} para y\le 9 é 3),
  • para um x fixo em [0,3], a condição x\ge\sqrt{y} equivalendo a x^{2}\ge y
0\le y\le x^{2}.
Portanto, ao inverter a ordem, x vai de 0 a 3 e, para cada x, y vai de 0 a x^{2}.

Passo 3

Escrevendo a integral com a ordem trocada:
\int_{0}^{3}\int_{0}^{x^{2}}\sin\bigl(x^{3}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

A integranda \sin\bigl(x^{3}\bigr) não depende de y. Assim, a integral interna em y é simples:
\int_{0}^{x^{2}}\sin\bigl(x^{3}\bigr)\,dy=\sin\bigl(x^{3}\bigr)\cdot\bigl(x^{2}-0\bigr)=x^{2}\sin\bigl(x^{3}\bigr).
Assim a integral dupla se reduz a uma integral única:
\int_{0}^{3}x^{2}\sin\bigl(x^{3}\bigr)\,dx.

Passo 5

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{3}x^{2}\sin\bigl(x^{3}\bigr)\,dx usamos a substituição usual para compostas do tipo x^{3}. Seja
u=x^{3}\quad\Rightarrow\quad du=3x^{2}\,dx\quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx=\frac{du}{3}.
Os limites mudam para u(0)=0 e u(3)=27. Portanto
\int_{0}^{3}x^{2}\sin\bigl(x^{3}\bigr)\,dx=\frac{1}{3}\int_{0}^{27}\sin u\,du=\frac{1}{3}\bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{27}.

Resposta

\dfrac{1}{3}\bigl(1-\cos 27\bigr)

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