Questão 11. Sejam
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá que
e nos informa a hipótese
A tarefa é provar que, a partir dessa hipótese, segue a desigualdade
Lista das informações relevantes:
- Temos os números reais
. - A hipótese é
. - Queremos concluir
.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade fundamental dos valores absolutos: a desigualdade triangular. Vou explicar e provar essa propriedade de forma simples, porque ela é o coração da resolução.
Propriedade (desigualdade triangular): para quaisquer reais
e
vale
Demonstração curta e intuitiva: comece calculando o quadrado de
:
Como
e
, obtemos
Portanto
Como ambos os lados são não negativos, podemos tirar raiz quadrada preservando a desigualdade:
Isso termina a prova da desigualdade triangular. Intuição: o valor absoluto mede “distância”, e a distância direta entre dois pontos não passa de ir por um ponto intermediário (soma de distâncias).
Passo 3
Aplique a desigualdade triangular com
e
. Então
Aqui usei que
, e a desigualdade triangular dá exatamente a relação acima.
Passo 4
Agora use a hipótese
. Somando
aos dois lados dessa desigualdade (operações com desigualdades são válidas porque
é um número real fixo) obtemos
Passo 5
Juntando os resultados dos passos anteriores: temos
(do passo 3) e
(do passo 4). Pela transitividade das desigualdades — se
e
então
— concluímos
Assim mostramos que a hipótese
implica
.
Passo 6
Para fixar a ideia, veja um exemplo numérico rápido: tome
,
,
. Então
. A conclusão prevê
, ou seja
, que é verdadeira. Isso é só para confirmar que a desigualdade faz sentido em casos concretos.