Questão 11. Sejam x, y, z \in \mathbb{R}. Prove que |x-y|<z \Rightarrow|x|<|y|+z.

Passo 1

O enunciado dá que x,y,z\in\mathbb{R} e nos informa a hipótese
|x-y|<z.
A tarefa é provar que, a partir dessa hipótese, segue a desigualdade
|x|<|y|+z.
Lista das informações relevantes:
  • Temos os números reais x,y,z.
  • A hipótese é |x-y|<z.
  • Queremos concluir |x|<|y|+z.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade fundamental dos valores absolutos: a desigualdade triangular. Vou explicar e provar essa propriedade de forma simples, porque ela é o coração da resolução.
Propriedade (desigualdade triangular): para quaisquer reais a e b vale
|a+b|\le|a|+|b|.
Demonstração curta e intuitiva: comece calculando o quadrado de |a+b|:
|a+b|^{2}=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.
Como |ab|=|a||b| e 2ab\le 2|a||b|, obtemos
a^{2}+2ab+b^{2}\le a^{2}+2|a||b|+b^{2}=(|a|+|b|)^{2}.
Portanto
|a+b|^{2}\le(|a|+|b|)^{2}.
Como ambos os lados são não negativos, podemos tirar raiz quadrada preservando a desigualdade:
|a+b|\le|a|+|b|.
Isso termina a prova da desigualdade triangular. Intuição: o valor absoluto mede “distância”, e a distância direta entre dois pontos não passa de ir por um ponto intermediário (soma de distâncias).

Passo 3

Aplique a desigualdade triangular com a=x-y e b=y. Então
|x|=|(x-y)+y|\le|x-y|+|y|.
Aqui usei que x=(x-y)+y, e a desigualdade triangular dá exatamente a relação acima.

Passo 4

Agora use a hipótese |x-y|<z. Somando |y| aos dois lados dessa desigualdade (operações com desigualdades são válidas porque |y| é um número real fixo) obtemos
|x-y|+|y|<z+|y|.

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores: temos |x|\le|x-y|+|y| (do passo 3) e |x-y|+|y|<|y|+z (do passo 4). Pela transitividade das desigualdades — se A\le B e B< C então A< C — concluímos
|x|<|y|+z.
Assim mostramos que a hipótese |x-y|<z implica |x|<|y|+z.

Passo 6

Para fixar a ideia, veja um exemplo numérico rápido: tome x=5, y=3, z=3. Então |x-y|=|2|=2<3=z. A conclusão prevê |x|<|y|+z, ou seja 5<3+3=6, que é verdadeira. Isso é só para confirmar que a desigualdade faz sentido em casos concretos.

Resposta

|x-y|<z \Rightarrow |x|<|y|+z

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