Reduza à forma polar ou forma trigonométrica cada um dos números complexos dados:
\frac{1}{4-3 i}

Passo 1

O enunciado pede para escrever
\frac{1}{4-3i}
na forma trigonométrica (ou polar). Vamos usar conceitos de números complexos: racionalizar o denominador para obter a parte real e a parte imaginária, depois calcular o módulo r e o argumento \theta.

Passo 2

Racionalizamos multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 4-3i, que é 4+3i:
\frac{1}{4-3i} = \frac{4+3i}{(4-3i)(4+3i)} = \frac{4+3i}{4^2+(3)^2} = \frac{4+3i}{16+9} = \frac{4+3i}{25} = \frac{4}{25} + i\,\frac{3}{25}.

Passo 3

Agora identificamos a forma cartesiana
z = \frac{4}{25} + i\,\frac{3}{25}
e calculamos o módulo
r = \sqrt{\Bigl(\frac{4}{25}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{3}{25}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{16+9}{625}} = \sqrt{\frac{25}{625}} = \frac{1}{5}.

Passo 4

O argumento \theta satisfaz
\tan\theta = \frac{\Im(z)}{\Re(z)} = \frac{\tfrac{3}{25}}{\tfrac{4}{25}} = \frac{3}{4},
e, como \Re(z)>0 e \Im(z)>0, \theta está no primeiro quadrante. Logo
\theta = \arctan\frac{3}{4}.

Passo 5

Na forma trigonométrica escrevemos
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)
com
r = \frac{1}{5}, \qquad \theta = \arctan\frac{3}{4}.

Resposta

\frac{1}{4-3i} = \frac{1}{5}\Bigl(\cos\bigl(\arctan\tfrac{3}{4}\bigr) + i\sin\bigl(\arctan\tfrac{3}{4}\bigr)\Bigr).

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