Reduza à forma polar ou forma trigonométrica cada um dos números complexos dados:
\frac{1-i}{3-2 i}

Passo 1

O enunciado pede para reduzir o número complexo
\frac{1 - i}{3 - 2i}
à forma polar (ou trigonométrica). Vamos precisar fazer divisão de números complexos, obter a forma a + bi, depois calcular módulo r e argumento \theta, e enfim escrever
r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr).

Passo 2

Primeiro fazemos a divisão em forma retangular. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 3 - 2i:
\frac{1 - i}{3 - 2i} = \frac{(1 - i)(3 + 2i)}{(3 - 2i)(3 + 2i)} = \frac{3 + 2i - 3i - 2i^2}{9 + 4} = \frac{3 - i + 2}{13} = \frac{5 - i}{13} = \frac{5}{13} - \frac{1}{13}\,i.

Passo 3

Agora calculamos o módulo
r = \sqrt{\Bigl(\frac{5}{13}\Bigr)^2 + \Bigl(-\frac{1}{13}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{25 + 1}{169}} = \frac{\sqrt{26}}{13}.

Passo 4

Em seguida, encontramos o argumento \theta. Temos
\tan\theta = \frac{\Im}{\Re} = \frac{-\tfrac{1}{13}}{\tfrac{5}{13}} = -\frac{1}{5}.
Como \Re>0 e \Im<0, o ponto está no quarto quadrante, logo
\theta = -\arctan\!\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr).

Passo 5

Finalmente, escrevemos a forma polar (trigonométrica):
\frac{1 - i}{3 - 2i} = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr) = \frac{\sqrt{26}}{13}\Bigl[\cos\bigl(-\arctan\tfrac{1}{5}\bigr) + i\,\sin\bigl(-\arctan\tfrac{1}{5}\bigr)\Bigr].

Resposta

\frac{1 - i}{3 - 2i} = \frac{\sqrt{26}}{13}\bigl[\cos\bigl(-\arctan\tfrac{1}{5}\bigr) + i\,\sin\bigl(-\arctan\tfrac{1}{5}\bigr)\bigr].

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