Reduza à forma polar ou forma trigonométrica cada um dos números complexos dados:
\frac{1}{2+3 i}

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo \displaystyle z=\frac{1}{2+3\,i}
na forma polar (ou trigonométrica). Para isso vamos primeiro escrever z na forma a+bi e depois achar módulo e argumento.

Passo 2

Racionalizamos o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 2+3\,i, que é 2-3\,i:
z=\frac{1}{2+3\,i}\cdot\frac{2-3\,i}{2-3\,i} =\frac{2-3\,i}{(2)^2+(3)^2} =\frac{2-3\,i}{4+9} =\frac{2}{13}-\frac{3}{13}\,i.

Passo 3

O módulo de z=a+bi é
r=\sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{\bigl(\tfrac{2}{13}\bigr)^2+\bigl(-\tfrac{3}{13}\bigr)^2} =\frac{\sqrt{4+9}}{13} =\frac{\sqrt{13}}{13}.

Passo 4

O argumento \theta satisfaz \tan\theta=\frac{b}{a}=\frac{-3/13}{2/13}=-\tfrac{3}{2}. Como a>0 e b<0, estamos no quarto quadrante, logo
\theta=-\arctan\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr).

Passo 5

Na forma trigonométrica temos
z=r\bigl(\cos\theta+i\sin\theta\bigr) =\frac{\sqrt{13}}{13}\Bigl(\cos\!\bigl(-\arctan(\tfrac{3}{2})\bigr) +i\,\sin\!\bigl(-\arctan(\tfrac{3}{2})\bigr)\Bigr).

Resposta

\frac{1}{2+3\,i} =\frac{\sqrt{13}}{13}\Bigl(\cos\!\bigl(-\arctan(\tfrac{3}{2})\bigr) +i\,\sin\!\bigl(-\arctan(\tfrac{3}{2})\bigr)\Bigr).

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