Reduza as matrizes abaixo à forma reduzida escalonada e determine o posto e a nulidade das mesmas.
D=\left[\begin{array}{cccc}0 & 1 & 3 & -2 \\\\ 2 & 1 & -4 & 3 \\\\ 2 & 3 & 2 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a matriz
D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & -2\\[6pt] 2 & 1 & -4 & 3\\[6pt] 2 & 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}
à forma reduzida escalonada (RREF) e, a partir dela, determinar o posto (rank) e a nulidade (nullity). Vamos usar operações elementares de linha (troca, multiplicação por escalar e combinação linear) para chegar à RREF; daí o posto é o número de pivôs e a nulidade é \text{número de colunas} - \text{posto}ú.]

Passo 2

Precisamos de um pivô não nulo na primeira coluna. Como D_{11}=0, trocamos a linha 1 com a linha 2:
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 2 & 1 & -4 & 3\\\\ 2 & 3 & 2 & -1 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_1\leftrightarrow R_2}\; \begin{pmatrix} 2 & 1 & -4 & 3\\\\ 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 2 & 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Agora normalizamos a nova linha 1 dividindo por 2 para obter pivô 1:
R_1 \leftarrow \tfrac12 R_1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & \tfrac12 & -2 & \tfrac32\\\\ 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 2 & 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo e acima dos pivôs. Primeiro, zeramos a coluna 1 em R_3:
R_3 \leftarrow R_3 - 2\,R_1 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & \tfrac12 & -2 & \tfrac32\\\\ 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 0 & 2 & 6 & -4 \end{pmatrix}.
Em seguida, usamos o pivô da coluna 2 (que já é 1 em R_2) para zerar as outras entradas nessa coluna:
R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac12 R_2, \quad R_3 \leftarrow R_3 - 2\,R_2.
Isso leva a
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac72 & \tfrac52\\\\ 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
que já é a forma reduzida escalonada (RREF).

Passo 4

Na RREF temos pivôs nas colunas 1 e 2, portanto
\text{posto}(D) = 2.
Como D tem 4 colunas, a nulidade é
\text{nulidade}(D) = 4 - 2 = 2.

Resposta

A forma reduzida escalonada é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac72 & \tfrac52\\\\ 0 & 1 & 3 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
o posto de D é 2 e a nulidade de D é 2.

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