Usando as operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.
B=\left[\begin{array}{lll}2 & 5 & 1 \\\\ 4 & 1 & 2 \\\\ 0 & 4 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
B=\begin{pmatrix}2&5&1\\\ 4&1&2\\\ 0&4&1\end{pmatrix}
é invertível e, em caso afirmativo, calcular B^{-1} usando operações elementares sobre linhas. A ideia é montar a matriz aumentada [B\mid I] e reduzi-la até [I\mid B^{-1}].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 2&5&1&1&0&0\\\\ 4&1&2&0&1&0\\\\ 0&4&1&0&0&1 \end{array}\right]
e começamos a eliminação para obter pivôs iguais a 1 na diagonal principal.

Passo 3

Como o pivô em (1,1) é 2, dividimos R_1 por 2 e eliminamos a entrada abaixo em (2,1):
R_1\leftarrow\frac{1}{2}R_1,\quad R_2\leftarrow R_2-4R_1
o que resulta em
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1&\frac{5}{2}&\frac12&\frac12&0&0\\\\ 0&-9&0&-2&1&0\\\\ 0&4&1&0&0&1 \end{array}\right].

Passo 4

O pivô em (2,2) é -9. Dividimos R_2 por -9 e eliminamos as entradas nas colunas correspondentes em R_1 e R_3:
R_2\leftarrow-\frac{1}{9}R_2,\quad R_1\leftarrow R_1-\frac{5}{2}R_2,\quad R_3\leftarrow R_3-4R_2
o que nos dá
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&\frac12&-\frac{1}{18}&\frac{5}{18}&0\\\\ 0&1&0&\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}&0\\\\ 0&0&1&-\frac{8}{9}&\frac{4}{9}&1 \end{array}\right].

Passo 5

Já temos pivô 1 em (3,3). Eliminamos a entrada \tfrac12 em (1,3) com
R_1\leftarrow R_1-\tfrac12R_3
obtendo
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0&\frac{7}{18}&\frac{1}{18}&-\frac12\\\\ 0&1&0&\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}&0\\\\ 0&0&1&-\frac{8}{9}&\frac{4}{9}&1 \end{array}\right].

Resposta

A matriz B é invertível e
B^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{7}{18}&\frac{1}{18}&-\frac12\\\ \frac{2}{9}&-\frac{1}{9}&0\\\\ -\frac{8}{9}&\frac{4}{9}&1 \end{pmatrix}.

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