Reduza as matrizes abaixo à forma reduzida escalonada e determine o posto e a nulidade das mesmas.
C=\left[\begin{array}{ccc}6 & 3 & -4 \\\\ -4 & 1 & -6 \\\\ 1 & 2 & -5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a matriz
C = \begin{pmatrix} 6 & 3 & -4\\\\ -4 & 1 & -6\\\\ 1 & 2 & -5 \end{pmatrix}
à forma reduzida escalonada (RREF) usando o método de Gauss–Jordan, e então determinar o posto (rank) e a nulidade (dimensão do núcleo) de C.

Passo 2

Começamos escolhendo o elemento \,1 da terceira linha como pivô na coluna 1, trocando a linha 1 com a linha 3 e eliminando abaixo:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -5\\\\ -4 & 1 & -6\\\\ 6 & 3 & -4 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_2\to R_2+4R_1,\;R_3\to R_3-6R_1}\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & -5\\\\ 0 & 9 & -26\\\\ 0 & -9 & 26 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora eliminamos o elemento -9 em R_3,C_2 somando R_2 a R_3:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -5\\\\ 0 & 9 & -26\\\\ 0 & -9 & 26 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_3\to R_3+R_2}\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & -5\\\\ 0 & 9 & -26\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Escalonamos a segunda linha para obter pivô 1 e eliminamos acima, completando o Gauss–Jordan:
R_2\to \tfrac{1}{9}R_2,\quad R_1\to R_1-2R_2 \;\longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac{7}{9}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{26}{9}\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Esta é a forma reduzida escalonada (RREF) de C.

Passo 5

Da RREF vemos que há 2 pivôs (linhas não nulas), logo
\text{posto}\text{(C)}=2.
Como a matriz é 3\times3, a nulidade (dimensão do núcleo) é
\text{nulidade}\text{(C)}=3-\text{posto}\text{(C)}=3-2=1.

Resposta

A forma reduzida escalonada de C é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac{7}{9}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{26}{9}\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
o posto de C é 2 e a nulidade é 1.

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