Devemos usar apenas operações elementares de linha (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra).
O objetivo é obter uma forma escada (cada linha não-nula tem primeiro elemento não-nulo (pivot) à direita do pivot da linha acima, e abaixo de cada pivot todos os elementos são zero).]
Passo 2
Breve aula sobre operações de linha e pivôs (sem pular etapas):
Operações elementares permitidas:
Trocar duas linhas: denotada por R_i \leftrightarrow R_j.
Multiplicar uma linha por escalar não nulo: R_i \leftarrow \lambda R_i com \lambda \neq 0.
Somar múltiplo de uma linha a outra: R_i \leftarrow R_i + \mu R_j.
Pivot (entrada de liderança) de uma linha é o primeiro elemento não nulo nessa linha (da esquerda para a direita). Em forma escada, pivôs descem para a direita conforme se desce nas linhas.
Estratégia prática: levar um pivot não nulo para a primeira linha (usando troca se necessário), zerar abaixo dele, depois passar para a próxima linha e coluna apropriada, e assim por diante.
Vamos aplicar isso passo a passo à matriz dada.
Passo 3
Primeiro pivot desejável é na coluna 1. A primeira linha atual tem 0 na coluna 1, então trocamos R_1 com R_2 (que tem 1 na coluna 1):
Agora coluna 1 está zerada abaixo do pivot, como desejado.]
Passo 5
Próximo pivot deve estar numa linha abaixo da primeira e em coluna à direita do pivot anterior. Olhamos a segunda linha: R_2=(0,2,2) tem um candidato a pivot em coluna 2 igual a 2. Vamos usar esse pivot e zerar as entradas abaixo dele nas linhas 3 e 4.
Para zerar a entrada -7 em R_3 usando R_2 que tem 2 na mesma coluna, faça
R_3 \leftarrow R_3 + \frac{7}{2}R_2.
Cálculo:
Na coluna 2: -7 + \frac{7}{2}\cdot 2 = -7 +7 = 0.
Na coluna 3: -7 + \frac{7}{2}\cdot 2 = -7 +7 = 0.
Logo R_3 vira (0,0,0).
Para zerar a entrada -5 em R_4 faça
R_4 \leftarrow R_4 + \frac{5}{2}R_2.
Cálculo:
Na coluna 2: -5 + \frac{5}{2}\cdot 2 = -5 +5 = 0.
Na coluna 3: -5 + \frac{5}{2}\cdot 2 = -5 +5 = 0.
Logo R_4 vira (0,0,0).
Agora todas as entradas abaixo do pivot em coluna 2 estão zeras; as duas últimas linhas são nulas.]
Passo 6
A matriz acima já está em forma escada: os pivôs estão em colunas 1 e 2 e cada pivot está à direita do pivot da linha superior, e abaixo de cada pivot todas as entradas são zero. Para deixar a aparência mais “limpa” (pivôs iguais a 1) podemos opcionalmente escalar a segunda linha e eliminar acima (isso leva à forma escada reduzida, ainda válida):
Operações opcionais para formar pivôs unitários e deixar zeros acima:
Escalar R_2 por \tfrac{1}{2}: R_2 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_2, dando R_2=(0,1,1).
Eliminar o elemento acima do pivot de R_2 na R_1: R_1 \leftarrow R_1 - R_2. Cálculo: R_1=(1,1,3)-(0,1,1)=(1,0,2).