Resolva o sistema de equações, escrevendo a matriz ampliada do sistema inicial e escrevendo o sistema final do qual se obterá a solução do sistema original:
O enunciado dá o seguinte sistema linear com quatro equações e três incógnitas e pede para resolvê-lo, além de escrever a matriz ampliada do sistema inicial e o sistema final a partir do qual se obtém a solução:
\left\{\begin{array}{ccc} 2x - y + 3z & = & 11\\[4pt] 4x - 3y + 2z & = & 0\\[4pt] x + y + z & = & 6\\[4pt] 3x + y + z & = & 4 \end{array}\right.
Informações dadas (listadas claramente):
Equações (copiadas do enunciado): \;2x-y+3z=11,\;4x-3y+2z=0,\;x+y+z=6,\;3x+y+z=4.
Pedido: (1) escrever a matriz ampliada do sistema inicial; (2) aplicar eliminação para obter um sistema triangular (o “sistema final”) do qual se obtém a solução; (3) encontrar a solução do sistema (se existir).]
Passo 2
Formamos a matriz ampliada do sistema inicial (colunas correspondem a x,y,z e a coluna da direita é o termo independente). A matriz ampliada é:
Vamos usar eliminação de Gauss (operações elementares sobre linhas) para transformar a matriz ampliada numa forma triangular superior. Lembrete rápido sobre operações elementares que usaremos:
Trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j.
Somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + k R_j.
Multiplicar uma linha por constante não nula: R_i \leftarrow c R_i.
Essas operações não alteram o conjunto de soluções do sistema.
Passo 4
Observação prática: é útil ter um 1 como pivô na primeira linha. Troco a linha 1 com a linha 3 (pois a linha 3 tem x com coeficiente 1):
Agora vamos escolher um pivô na segunda coluna. Para simplificar a conta, troco R_2 e R_3 para ter o pivô -3 (menor número absoluto que facilita operações):
3x + y + z = 3(-1) +2 +5 = -3 +7 = 4 certo.
Portanto a solução é consistente com todas as quatro equações; uma delas era redundante.
Passo 12
Escrevo o “sistema final” triangular (o sistema a partir do qual obtivemos a solução por substituição), que corresponde às linhas da matriz triangular encontrada:
\left\{\begin{array}{rcl} x + y + z & = & 6,\\[4pt] -3y + z & = & -1,\\[4pt] -13z & = & -65. \end{array}\right.]