Determine x tal que:
\left|\begin{array}{rrr}1 & x & 2 \\\\ -2 & x & -4 \\\\ 1 & -3 & -x\end{array}\right|=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pedido: determinar todos os valores de x tais que o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 1 & x & 2\\[4pt] -2 & x & -4\\[4pt] 1 & -3 & -x \end{pmatrix}
é igual a zero.
  • Dados relevantes: os elementos da matriz dependem linearmente de x nas entradas (1,2),(2,2) e (3,3). Precisamos achar x que tornam o determinante dessa matriz igual a zero.]

Passo 2

O que é o determinante (rápido e prático) e a regra que vamos usar.
  • Para uma matriz 3\times3 com primeira linha (a,b,c), a expansão por co-fatores pela primeira linha dá:
\det = a\cdot\det\begin{pmatrix} e & f \\\ g & h \end{pmatrix} - b\cdot\det\begin{pmatrix} d & f \\\ g & h \end{pmatrix} + c\cdot\det\begin{pmatrix} d & e \\\ g & h \end{pmatrix},
onde cada 2\times2 é o menor correspondente.
  • Lembrete: para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix} p & q \\\ r & s \end{pmatrix} = p s - q r.
Vou usar essa fórmula para calcular os menores.

Passo 3

Aplicando a expansão pela primeira linha à nossa matriz.
A primeira linha é (1,\,x,\,2). Então
\det = 1\cdot\det\begin{pmatrix} x & -4 \\\\ -3 & -x \end{pmatrix} - x\cdot\det\begin{pmatrix} -2 & -4 \\\\ 1 & -x \end{pmatrix} + 2\cdot\det\begin{pmatrix} -2 & x \\\\ 1 & -3 \end{pmatrix}.
Vou calcular cada determinante 2\times2 separadamente.

Passo 4

Cálculo dos menores 2\times2.
  • Primeiro menor:
\det\begin{pmatrix} x & -4 \\\\ -3 & -x \end{pmatrix} = x\cdot(-x) - (-4)\cdot(-3) = -x^{2} - 12.
  • Segundo menor:
\det\begin{pmatrix} -2 & -4 \\\\ 1 & -x \end{pmatrix} = (-2)\cdot(-x) - (-4)\cdot 1 = 2x + 4.
  • Terceiro menor:
\det\begin{pmatrix} -2 & x \\\\ 1 & -3 \end{pmatrix} = (-2)\cdot(-3) - x\cdot 1 = 6 - x.

Passo 5

Substituir os menores na expressão do determinante e simplificar.
Substituindo:
\det = 1\cdot(-x^{2}-12) - x\cdot(2x+4) + 2\cdot(6-x).
Agora simplifico termo a termo:
\det = -x^{2}-12 -2x^{2}-4x +12 -2x.
Agrupando termos semelhantes:
\det = (-x^{2}-2x^{2}) + (-4x-2x) + (-12+12) = -3x^{2} -6x + 0.
Logo
\det = -3x^{2}-6x.

Passo 6

Colocar a equação em forma fatorada e resolver \det=0.
Coloco em evidência:
\det = -3x^{2}-6x = -3x(x+2).
Para ter determinante zero basta que um dos fatores seja zero:
-3x(x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=-2.

Passo 7

Verificações rápidas e interpretação (pra você se sentir seguro).
  • Para x=0: as duas primeiras linhas ficam (1,0,2) e (-2,0,-4). Note que a segunda é -2 vezes a primeira, então as linhas são linearmente dependentes e o determinante realmente é zero.
  • Para x=-2: as colunas 1 e 3 ficam proporcionais, pois a coluna 3 é 2 vezes a coluna 1, então as colunas são linearmente dependentes e o determinante é zero. Isso confirma as raízes encontradas.

Resposta

x=0
x=-2

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