Determine x tal que: \left|\begin{array}{rrr}1 & x & 2 \\\\ -2 & x & -4 \\\\ 1 & -3 & -x\end{array}\right|=0
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
Pedido: determinar todos os valores de x tais que o determinante da matriz
\begin{pmatrix} 1 & x & 2\\[4pt] -2 & x & -4\\[4pt] 1 & -3 & -x \end{pmatrix}
é igual a zero.
Dados relevantes: os elementos da matriz dependem linearmente de x nas entradas (1,2),(2,2) e (3,3). Precisamos achar x que tornam o determinante dessa matriz igual a zero.]
Passo 2
O que é o determinante (rápido e prático) e a regra que vamos usar.
Para uma matriz 3\times3 com primeira linha (a,b,c), a expansão por co-fatores pela primeira linha dá:
\det = a\cdot\det\begin{pmatrix} e & f \\\ g & h \end{pmatrix} - b\cdot\det\begin{pmatrix} d & f \\\ g & h \end{pmatrix} + c\cdot\det\begin{pmatrix} d & e \\\ g & h \end{pmatrix},
onde cada 2\times2 é o menor correspondente.
Lembrete: para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix} p & q \\\ r & s \end{pmatrix} = p s - q r.
Vou usar essa fórmula para calcular os menores.
Passo 3
Aplicando a expansão pela primeira linha à nossa matriz.
Verificações rápidas e interpretação (pra você se sentir seguro).
Para x=0: as duas primeiras linhas ficam (1,0,2) e (-2,0,-4). Note que a segunda é -2 vezes a primeira, então as linhas são linearmente dependentes e o determinante realmente é zero.
Para x=-2: as colunas 1 e 3 ficam proporcionais, pois a coluna 3 é 2 vezes a coluna 1, então as colunas são linearmente dependentes e o determinante é zero. Isso confirma as raízes encontradas.