Reduza as matrizes à forma escalonada por linhas
\left[\begin{array}{cccc}1 & -2 & 3 & -1 \\\\ 2 & -1 & 2 & 3 \\\\ 3 & 1 & 2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O exercício pede para levar a matriz
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\\\ 2 & -1 & 2 & 3\\\\ 3 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}
à forma escalonada por linhas, usando operações elementares (troca de linha, multiplicação de linha por escalar não nulo e adição de múltiplos de uma linha a outra).

Passo 2

Usamos como pivô o elemento \,1 na posição (1,1) e eliminamos abaixo:
R2 \leftarrow R2 - 2\cdotR1 e
R3 \leftarrow R3 - 3\cdotR1.
Cálculo:
R2 = (2,\,-1,\,2,\,3)-2\,(1,\,-2,\,3,\,-1)=(0,\,3,\,-4,\,5),
R3 = (3,\,1,\,2,\,3)-3\,(1,\,-2,\,3,\,-1)=(0,\,7,\,-7,\,6).
Fica a matriz
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\\\ 0 & 3 & -4 & 5\\\\ 0 & 7 & -7 & 6 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora usamos como pivô o elemento \,3 na posição (2,2) e eliminamos abaixo:
R3 \leftarrow R3 - \tfrac{7}{3}·R2.
Cálculo:
R3 = (0,\,7,\,-7,\,6)-\tfrac{7}{3}\,(0,\,3,\,-4,\,5) =(0,\,0,\,-7+\tfrac{28}{3},\,6-\tfrac{35}{3}) =(0,\,0,\,\tfrac{7}{3},\,-\tfrac{17}{3}).
Então a matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\\\ 0 & 3 & -4 & 5\\\\ 0 & 0 & \tfrac{7}{3} & -\tfrac{17}{3} \end{pmatrix}.

Passo 4

Para obter pivôs iguais a 1, escalonamos as linhas 2 e 3:
R2 \leftarrow \tfrac{1}{3}·R2 e
R3 \leftarrow \tfrac{3}{7}·R3.
Assim
R2=(0,\,1,\,-\tfrac{4}{3},\,\tfrac{5}{3}),\quad R3=(0,\,0,\,1,\,-\tfrac{17}{7}).

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{4}{3} & \tfrac{5}{3}\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{17}{7} \end{pmatrix}

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