Reduzir cada uma das seguintes equações de parábola à forma reduzida e determinar:
- as coordenadas do vértice;
- as coordenadas do foco;
- a amplitude focal mínima;
- a equação da diretriz.
Passo 1
O enunciado pede que eu reduza a equação da parábola à forma reduzida e determine quatro coisas:
- as coordenadas do vértice;
- as coordenadas do foco;
- a amplitude focal mínima;
- a equação da diretriz.
A equação dada é
. Estas são todas as informações que o enunciado fornece.
Passo 2
Primeiro passo prático: organizar a equação para completar o quadrado em
. Vou juntar os termos em
e isolar o resto:
Agora faço a completude do quadrado para
. Lembre que para completar o quadrado em
adiciona-se e subtrai-se
. Aqui
, então
Substituindo isso na equação original:
Passo 3
Continuando a simplificação:
Isolando o termo em
:
Dividindo por
(para escrever na forma padrão):
Agora reescrevo de modo mais diretamente comparável à forma canônica de parábola com eixo horizontal. Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando:
Passo 4
Identifico a forma canônica conhecida: para uma parábola com eixo horizontal (paralela ao eixo
) a forma padrão é
onde:
-
é o vértice; -
é a distância orientada do vértice ao foco (se abre para a direita, se abre para a esquerda).
Comparando
com
, vejo que
Logo
O sinal negativo de
indica que a parábola abre para a esquerda.
Passo 5
Com
conhecidos, calculo o vértice e o foco.
O vértice é
O foco fica a distância
ao longo do eixo da parábola a partir do vértice, ou seja:
Passo 6
A diretriz de uma parábola na forma
é a reta vertical
Aqui
Portanto a diretriz é
.
Passo 7
Agora a amplitude focal (também chamada de latus rectum, ou “amplitude focal mínima” neste enunciado) é o comprimento do segmento focal perpendicular ao eixo que passa pelo foco. A fórmula é
Como
, temos
Posso também dar as extremidades desse segmento (útil para visualizar): elas têm abscissa
e ordenadas
. Calculando:
Assim os extremos do latus rectum são
e
, cuja distância é
, checando o resultado.
Resposta
Vértice:
Foco:
Amplitude focal mínima:
Diretriz:
Foco:
Amplitude focal mínima:
Diretriz: