Reduzir cada uma das seguintes equações de parábola à forma reduzida e determinar:
  • as coordenadas do vértice;
  • as coordenadas do foco;
  • a amplitude focal mínima;
  • a equação da diretriz.
y^{2}-4 y+6 x-8=0

Passo 1

O enunciado pede que eu reduza a equação da parábola à forma reduzida e determine quatro coisas:
  • as coordenadas do vértice;
  • as coordenadas do foco;
  • a amplitude focal mínima;
  • a equação da diretriz.
A equação dada é y^{2}-4 y+6 x-8=0. Estas são todas as informações que o enunciado fornece.

Passo 2

Primeiro passo prático: organizar a equação para completar o quadrado em y. Vou juntar os termos em y e isolar o resto:
y^{2}-4y+6x-8=0.
Agora faço a completude do quadrado para y^{2}-4y. Lembre que para completar o quadrado em y^{2}+by adiciona-se e subtrai-se \left(\dfrac{b}{2}\right)^2. Aqui b=-4, então
y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4.
Substituindo isso na equação original:
(y-2)^{2}-4 + 6x - 8 = 0.

Passo 3

Continuando a simplificação:
(y-2)^{2} + 6x -12 = 0.
Isolando o termo em x:
6x = 12 - (y-2)^{2}.
Dividindo por 6 (para escrever na forma padrão):
x = 2 - \frac{1}{6}(y-2)^{2}.
Agora reescrevo de modo mais diretamente comparável à forma canônica de parábola com eixo horizontal. Multiplicando ambos os lados por -6 e rearranjando:
(y-2)^{2} = -6(x-2).

Passo 4

Identifico a forma canônica conhecida: para uma parábola com eixo horizontal (paralela ao eixo x) a forma padrão é
(y-k)^{2} = 4p(x-h),
onde:
  • (h,k) é o vértice;
  • p é a distância orientada do vértice ao foco (se p>0 abre para a direita, se p<0 abre para a esquerda).
Comparando (y-2)^{2} = -6(x-2) com (y-k)^{2} = 4p(x-h), vejo que
h=2,\quad k=2,\quad 4p = -6.
Logo
p = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}.
O sinal negativo de p indica que a parábola abre para a esquerda.

Passo 5

Com h,k,p conhecidos, calculo o vértice e o foco.
O vértice é
V=(h,k) = (2,2).
O foco fica a distância p ao longo do eixo da parábola a partir do vértice, ou seja:
F=(h+p,\,k) = \left(2 - \frac{3}{2},\,2\right) = \left(\frac{1}{2},\,2\right).

Passo 6

A diretriz de uma parábola na forma (y-k)^{2}=4p(x-h) é a reta vertical
x = h - p.
Aqui
x = 2 - \left(-\frac{3}{2}\right) = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}.
Portanto a diretriz é x=\tfrac{7}{2}.

Passo 7

Agora a amplitude focal (também chamada de latus rectum, ou “amplitude focal mínima” neste enunciado) é o comprimento do segmento focal perpendicular ao eixo que passa pelo foco. A fórmula é
\text{amplitude focal} = |4p|.
Como 4p=-6, temos
|4p| = 6.
Posso também dar as extremidades desse segmento (útil para visualizar): elas têm abscissa h+p=\tfrac{1}{2} e ordenadas k\pm 2p. Calculando:
k+2p = 2 + 2\!\left(-\tfrac{3}{2}\right) = -1,\qquad k-2p = 2 - 2\!\left(-\tfrac{3}{2}\right)=5.
Assim os extremos do latus rectum são \left(\tfrac{1}{2},-1\right) e \left(\tfrac{1}{2},5\right), cuja distância é 5-(-1)=6, checando o resultado.

Resposta

Vértice: \,(2,2)
Foco: \,\left(\dfrac{1}{2},2\right)
Amplitude focal mínima: \,6
Diretriz: \,x=\dfrac{7}{2}

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