Encontre a matriz de cada operador em L\left(\mathbb{R}^{3}\right) em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3} : F(x, y, z)=(2 x-7 y, 3 x+y+4 z, 6 x-8 y+z)
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear F:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
F(x,y,z) = (\,2x-7y,\;3x+y+4z,\;6x-8y+z\,).
O que se pede: encontrar a matriz de F em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
A transformação é dada explicitamente por suas três componentes lineares em x,y,z.
A base canônica de \mathbb{R}^{3} é formada pelos vetores \;e_1, e_2, e_3\; (ver passo seguinte).
Explicação didática: para qualquer transformação linear T em \mathbb{R}^3, a matriz A de T na base canônica tem como colunas as imagens T(e_1),T(e_2),T(e_3) expressas nas coordenadas canônicas. Isso acontece porque multiplicar a matriz pelos coeficientes de um vetor combina linearmente as colunas para produzir T do vetor. Portanto o procedimento prático é: calcular F(e_1),F(e_2),F(e_3) e colocá-los como colunas da matriz.
Passo 3
Calcular F(e_1)=F(1,0,0). Substituindo (x,y,z)=(1,0,0) nas fórmulas:
Primeira componente: 2x-7y = 2\cdot1-7\cdot0 = 2.
Segunda componente: 3x+y+4z = 3\cdot1+0+4\cdot0 = 3.
Terceira componente: 6x-8y+z = 6\cdot1-8\cdot0+0 = 6.
Logo
Explicando: a primeira coluna é F(e_1), a segunda é F(e_2) e a terceira é F(e_3). Essa matriz satisfaz A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x-7y\\\ 3x+y+4z\\\ 6x-8y+z\end{pmatrix}, ou seja, representa exatamente F.]
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): multiplicando A pelo vetor genérico \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} obtém-se