Encontre a matriz de cada operador em L\left(\mathbb{R}^{3}\right) em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3} :
F(x, y, z)=(2 x-7 y, 3 x+y+4 z, 6 x-8 y+z)

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear F:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
F(x,y,z) = (\,2x-7y,\;3x+y+4z,\;6x-8y+z\,).
O que se pede: encontrar a matriz de F em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A transformação é dada explicitamente por suas três componentes lineares em x,y,z.
  • A base canônica de \mathbb{R}^{3} é formada pelos vetores \;e_1, e_2, e_3\; (ver passo seguinte).

Passo 2

Lembrando o que é a base canônica: os vetores são
e_1=(1,0,0),\qquad e_2=(0,1,0),\qquad e_3=(0,0,1).
Explicação didática: para qualquer transformação linear T em \mathbb{R}^3, a matriz A de T na base canônica tem como colunas as imagens T(e_1),T(e_2),T(e_3) expressas nas coordenadas canônicas. Isso acontece porque multiplicar a matriz pelos coeficientes de um vetor combina linearmente as colunas para produzir T do vetor. Portanto o procedimento prático é: calcular F(e_1),F(e_2),F(e_3) e colocá-los como colunas da matriz.

Passo 3

Calcular F(e_1)=F(1,0,0). Substituindo (x,y,z)=(1,0,0) nas fórmulas:
  • Primeira componente: 2x-7y = 2\cdot1-7\cdot0 = 2.
  • Segunda componente: 3x+y+4z = 3\cdot1+0+4\cdot0 = 3.
  • Terceira componente: 6x-8y+z = 6\cdot1-8\cdot0+0 = 6.
    Logo
F(e_1) = (2,3,6).

Passo 4

Calcular F(e_2)=F(0,1,0). Substituindo (x,y,z)=(0,1,0):
  • Primeira componente: 2x-7y = 2\cdot0-7\cdot1 = -7.
  • Segunda componente: 3x+y+4z = 3\cdot0+1+4\cdot0 = 1.
  • Terceira componente: 6x-8y+z = 6\cdot0-8\cdot1+0 = -8.
    Logo
F(e_2) = (-7,1,-8).

Passo 5

Calcular F(e_3)=F(0,0,1). Substituindo (x,y,z)=(0,0,1):
  • Primeira componente: 2x-7y = 2\cdot0-7\cdot0 = 0.
  • Segunda componente: 3x+y+4z = 3\cdot0+0+4\cdot1 = 4.
  • Terceira componente: 6x-8y+z = 6\cdot0-8\cdot0+1 = 1.
    Logo
F(e_3) = (0,4,1).

Passo 6

Montar a matriz de F em relação à base canônica: colocar F(e_1),F(e_2),F(e_3) como colunas, na ordem correspondente a e_1,e_2,e_3. Assim a matriz A é
A = \begin{pmatrix} 2 & -7 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 4\\[4pt] 6 & -8 & 1 \end{pmatrix}.
Explicando: a primeira coluna é F(e_1), a segunda é F(e_2) e a terceira é F(e_3). Essa matriz satisfaz A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x-7y\\\ 3x+y+4z\\\ 6x-8y+z\end{pmatrix}, ou seja, representa exatamente F.]

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): multiplicando A pelo vetor genérico \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} obtém-se
\begin{pmatrix} 2 & -7 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 4\\[4pt] 6 & -8 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x-7y+0\cdot z\\[4pt] 3x+1\cdot y+4z\\[4pt] 6x-8y+1\cdot z \end{pmatrix},
que coincide com F(x,y,z). Procedimento curto para a prova: calcule F aplicado a cada vetor da base canônica e monte a matriz com essas colunas.]

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & -7 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 4\\[4pt] 6 & -8 & 1 \end{pmatrix}]

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