Instituir a equação da parábola de foco em
, cuja corda focal mínima une os pontos
e
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tirei estes pontos diretamente do que foi escrito):
- O foco da parábola é
. - Há uma corda focal mínima cujos extremos são os pontos
e .
O que o exercício pede:
- Determinar a equação da parábola que tem o foco
e cuja corda focal mínima une e .
Passo 2
Entender o que significa “corda focal mínima” e o que isso nos diz geometricamente sobre a parábola.
Explicação didática: uma “corda focal” é qualquer segmento que une dois pontos da parábola e passa pelo foco. A corda focal de menor comprimento (a menor entre essas que passam pelo foco) é a chamada latus rectum (ou simplesmente o “lado recto”), que é a corda focal perpendicular ao eixo da parábola e que tem o foco como ponto médio. Assim, se a corda focal mínima é a dada, ela é perpendicular ao eixo da parábola e o foco está no ponto médio dessa corda.
Aplicando isso ao enunciado:
- A corda tem ambos os extremos com abscissa
, ou seja, é a reta vertical . - Como essa corda é a latus rectum, ela é perpendicular ao eixo da parábola, logo o eixo da parábola é horizontal.
- Como o foco tem coordenada
e está no ponto médio da corda vertical entre e , isso confirma que o eixo é a reta horizontal .
Passo 3
Escolher a forma conveniente da equação da parábola e explicar as variáveis.
Como o eixo é horizontal (reta
), a forma padrão mais simples é a forma com vértice
e parâmetro
:
Aqui:
-
é o vértice da parábola; -
é a distância do vértice ao foco ao longo do eixo; o foco é ; - a latus rectum (corda focal perpendicular ao eixo) tem comprimento
e seus extremos estão em .
Passo 4
Usar a relação foco
vértice e parâmetro.
Da forma padrão temos que o foco é
. Sabemos que o foco é
, logo:
Portanto já podemos afirmar que
(o eixo é
), e que
.
Passo 5
Usar a informação da latus rectum (os extremos dados) para encontrar
.
Pela fórmula dos extremos da latus rectum, eles são
e
. O enunciado deu esses extremos como
e
. Observação: os dois têm abscissa
, o que corresponde a
— já consistente com o foco. Agora use as ordenadas para obter
.
Tomando
, iguale
e
às ordenadas fornecidas:
Use
em qualquer uma das equações. Por exemplo,
(Verificação com a outra equação:
, consistente.)
Passo 6
Encontrar
usando
.
Já temos
, então
Logo o vértice é
.
Passo 7
Escrever a equação da parábola substituindo
,
e
na forma padrão e simplificar.
A forma padrão é
Substituindo
,
e
obtemos
Calcule
, logo uma forma simplificada é
Se preferir expandir a constante do lado direito:
Passo 8
Breve checagem rápida (para se sentir seguro na prova).
- O foco da forma
é . Com e temos e , isto é — OK. - Os extremos da latus rectum são
, isto é e — exatamente os dados — OK.