Instituir a equação da parábola de foco em (-2,-1), cuja corda focal mínima une os pontos (-2,2) e (-2,-4).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei estes pontos diretamente do que foi escrito):
  • O foco da parábola é F=(-2,-1).
  • Há uma corda focal mínima cujos extremos são os pontos (-2,2) e (-2,-4).
O que o exercício pede:
  • Determinar a equação da parábola que tem o foco F e cuja corda focal mínima une (-2,2) e (-2,-4).

Passo 2

Entender o que significa “corda focal mínima” e o que isso nos diz geometricamente sobre a parábola.
Explicação didática: uma “corda focal” é qualquer segmento que une dois pontos da parábola e passa pelo foco. A corda focal de menor comprimento (a menor entre essas que passam pelo foco) é a chamada latus rectum (ou simplesmente o “lado recto”), que é a corda focal perpendicular ao eixo da parábola e que tem o foco como ponto médio. Assim, se a corda focal mínima é a dada, ela é perpendicular ao eixo da parábola e o foco está no ponto médio dessa corda.
Aplicando isso ao enunciado:
  • A corda tem ambos os extremos com abscissa -2, ou seja, é a reta vertical x=-2.
  • Como essa corda é a latus rectum, ela é perpendicular ao eixo da parábola, logo o eixo da parábola é horizontal.
  • Como o foco tem coordenada y=-1 e está no ponto médio da corda vertical entre y=2 e y=-4, isso confirma que o eixo é a reta horizontal y=-1.

Passo 3

Escolher a forma conveniente da equação da parábola e explicar as variáveis.
Como o eixo é horizontal (reta y=k), a forma padrão mais simples é a forma com vértice (h,k) e parâmetro p:
(y-k)^2 = 4p(x-h).
Aqui:
  • (h,k) é o vértice da parábola;
  • p é a distância do vértice ao foco ao longo do eixo; o foco é (h+p,k);
  • a latus rectum (corda focal perpendicular ao eixo) tem comprimento 4p e seus extremos estão em (h+p,\;k\pm 2p).

Passo 4

Usar a relação foco \Rightarrow vértice e parâmetro.
Da forma padrão temos que o foco é (h+p,k). Sabemos que o foco é F=(-2,-1), logo:
h+p = -2,\qquad k=-1.
Portanto já podemos afirmar que k=-1 (o eixo é y=-1), e que h+p=-2.

Passo 5

Usar a informação da latus rectum (os extremos dados) para encontrar p.
Pela fórmula dos extremos da latus rectum, eles são (h+p,\;k+2p) e (h+p,\;k-2p). O enunciado deu esses extremos como (-2,2) e (-2,-4). Observação: os dois têm abscissa -2, o que corresponde a h+p=-2 — já consistente com o foco. Agora use as ordenadas para obter p.
Tomando k=-1, iguale k+2p e k-2p às ordenadas fornecidas:
k+2p = 2,\qquad k-2p = -4.
Use k=-1 em qualquer uma das equações. Por exemplo,
-1 + 2p = 2 \quad\Rightarrow\quad 2p = 3 \quad\Rightarrow\quad p = \frac{3}{2}.
(Verificação com a outra equação: -1-2p=-4\Rightarrow -2p=-3\Rightarrow p=\tfrac{3}{2}, consistente.)

Passo 6

Encontrar h usando h+p=-2.
Já temos p=\tfrac{3}{2}, então
h + \frac{3}{2} = -2 \quad\Rightarrow\quad h = -2 - \frac{3}{2} = -\frac{7}{2}.
Logo o vértice é \left(h,k\right)=\left(-\tfrac{7}{2},-1\right).

Passo 7

Escrever a equação da parábola substituindo h, k e p na forma padrão e simplificar.
A forma padrão é
(y-k)^2 = 4p(x-h).
Substituindo k=-1, p=\tfrac{3}{2} e h=-\tfrac{7}{2} obtemos
(y+1)^2 = 4\cdot\frac{3}{2}\,\biggl(x+\frac{7}{2}\biggr).
Calcule 4\cdot\tfrac{3}{2}=6, logo uma forma simplificada é
(y+1)^2 = 6\left(x+\frac{7}{2}\right).
Se preferir expandir a constante do lado direito:
(y+1)^2 = 6x + 21.

Passo 8

Breve checagem rápida (para se sentir seguro na prova).
  • O foco da forma (y-k)^2=4p(x-h) é (h+p,k). Com h=-\tfrac{7}{2} e p=\tfrac{3}{2} temos h+p=-2 e k=-1, isto é F=(-2,-1) — OK.
  • Os extremos da latus rectum são (h+p,k\pm 2p)=(-2,\,-1\pm 3), isto é (-2,2) e (-2,-4) — exatamente os dados — OK.

Resposta

(y+1)^2 = 6\left(x+\frac{7}{2}\right)

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