Reduzir cada superfícies à forma canônica, identificar e descrever as superfícies de equações dadas:
x^{2}+4 y^{2}+8 x-8 y-4 z+28=0

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a superfície dada à forma canônica, identificar que tipo de superfície é e descrevê-la geometricamente. A equação fornecida é
x^{2}+4 y^{2}+8 x-8 y-4 z+28=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há termos quadráticos em x e y, termos lineares em x,y,z e uma constante.
  • O objetivo é escrever a equação numa forma mais simples (canônica), a partir da qual se possa reconhecer o tipo de superfície, sua posição (vértice), eixo(s) e como são as seções por planos.

Passo 2

Primeira ação: agrupar e completar quadrados para x e y. Vou reunir os termos em x e em y:
x^{2}+8x \quad\text{e}\quad 4y^{2}-8y.
Explico como completar o quadrado (fórmula usada): para um polinômio u^{2}+2bu a identidade é
u^{2}+2bu=(u+b)^{2}-b^{2}.
Aplicando em x: aqui x^{2}+8x = x^{2}+2\cdot4\cdot x, então
x^{2}+8x=(x+4)^{2}-4^{2}=(x+4)^{2}-16.
Agora em y: factorando o 4,
4y^{2}-8y = 4\bigl(y^{2}-2y\bigr).
Dentro do parêntese y^{2}-2y = y^{2}+2\cdot(-1)\cdot y, portanto
y^{2}-2y=(y-1)^{2}-1.
Multiplicando pelo 4,
4y^{2}-8y = 4\bigl((y-1)^{2}-1\bigr)=4(y-1)^{2}-4.

Passo 3

Substituo as expressões completadas na equação original:
\bigl((x+4)^{2}-16\bigr) + \bigl(4(y-1)^{2}-4\bigr) -4z +28 = 0.
Somando as constantes -16-4+28 obtemos 8. Então a equação fica
(x+4)^{2} + 4(y-1)^{2} -4z +8 = 0.
Isolando z:
-4z = -\bigl((x+4)^{2} + 4(y-1)^{2} +8\bigr)
\Rightarrow\quad 4z = (x+4)^{2} + 4(y-1)^{2} +8
\Rightarrow\quad z = \frac{1}{4}(x+4)^{2} + (y-1)^{2} + 2.
Esta é uma forma canônica conveniente: z expresso como soma de quadrados (com coeficientes positivos) mais uma constante.

Passo 4

Interpretação e identificação do tipo de superfície.
  • A equação \displaystyle z = \frac{1}{4}(x+4)^{2} + (y-1)^{2} + 2 mostra z igual a uma forma quadrática positiva em x e y. Isso corresponde a um paraboloide cujo perfil em direção positiva de z é parabólico (as secções por planos paralelos aos planos xz e yz são parábolas).
  • Como ambos os coeficientes das quadraturas são positivos ( \tfrac{1}{4}>0 e 1>0), a superfície é um paraboloide elíptico que se abre no sentido positivo do eixo z.
Regra prática usada (explicação didática): quando a variável z aparece de forma linear e do outro lado temos soma de quadrados com coeficientes de mesmo sinal (positivos), obtemos um paraboloide elíptico; se os sinais fossem opostos obteríamos um paraboloide hiperbólico ou outro tipo.

Passo 5

Descrição geométrica detalhada (o que levar à prova):
  • Vértice: o ponto em que as parcelas quadráticas são zero, ou seja, quando x+4=0 e y-1=0. Assim o vértice é
(-4,\,1,\,2).
  • Eixo do paraboloide: a direção de simetria é paralela ao eixo z, ou seja, vetor diretor (0,0,1). Isso porque só z sofre translação constante; as variáveis x,y aparecem só em quadrados deslocados.
  • Abertura: para valores maiores de z a superfície tem secções transversais elípticas; o paraboloide abre no sentido dos z maiores (sentido +\!z). O mínimo valor de z (na superfície) é z_{\min}=2 no vértice.
  • Seções por planos horizontais z=k:
    • Para k=2 a interseção é apenas o vértice (ponto).
    • Para k>2, substituindo z=k obtemos a curva
    \frac{(x+4)^{2}}{4(k-2)} + \frac{(y-1)^{2}}{(k-2)} = 1,que é uma elipse com semi-eixos \sqrt{4(k-2)}=2\sqrt{k-2} na direção x e \sqrt{k-2} na direção y.
  • Seções por planos verticais:
    • Para y= constante obtemos em (x,z) uma parábola com eixo paralelo a z:
    z = \frac{1}{4}(x+4)^{2} + \text{const}.
    • Para x= constante obtemos em (y,z) uma parábola:
    z = (y-1)^{2} + \text{const}.

Passo 6

Resumo canônico e observações finais rápidas (úteis na hora da prova):
  • Forma canônica obtida: deslocando as variáveis para o vértice, a superfície é escrita como
z = \frac{1}{4}(x+4)^{2} + (y-1)^{2} + 2.
  • Tipo: paraboloide elíptico com vértice em (-4,1,2), eixo paralelo a (0,0,1) e abertura para +\!z. As secções horizontais z=k>2 são elipses como dado acima.

Resposta

z = \frac{1}{4}(x+4)^{2} + (y-1)^{2} + 2
Paraboloide elíptico com vértice em (-4,1,2), eixo paralelo ao eixo z (vetor (0,0,1)), abre para +\!z; secções z=k>2 são elipses \displaystyle \frac{(x+4)^{2}}{4(k-2)}+\frac{(y-1)^{2}}{k-2}=1.

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