Reduzir cada superfícies à forma canônica, identificar e descrever as superfícies de equações dadas:
Passo 1
O enunciado pede para reduzir a superfície dada à forma canônica, identificar que tipo de superfície é e descrevê-la geometricamente. A equação fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há termos quadráticos em
e , termos lineares em e uma constante. - O objetivo é escrever a equação numa forma mais simples (canônica), a partir da qual se possa reconhecer o tipo de superfície, sua posição (vértice), eixo(s) e como são as seções por planos.
Passo 2
Primeira ação: agrupar e completar quadrados para
e
. Vou reunir os termos em
e em
:
Explico como completar o quadrado (fórmula usada): para um polinômio
a identidade é
Aplicando em
: aqui
, então
Agora em
: factorando o
,
Dentro do parêntese
, portanto
Multiplicando pelo
,
Passo 3
Substituo as expressões completadas na equação original:
Somando as constantes
obtemos
. Então a equação fica
Isolando
:
Esta é uma forma canônica conveniente:
expresso como soma de quadrados (com coeficientes positivos) mais uma constante.
Passo 4
Interpretação e identificação do tipo de superfície.
- A equação
mostra igual a uma forma quadrática positiva em e . Isso corresponde a um paraboloide cujo perfil em direção positiva de é parabólico (as secções por planos paralelos aos planos e são parábolas). - Como ambos os coeficientes das quadraturas são positivos (
e ), a superfície é um paraboloide elíptico que se abre no sentido positivo do eixo .
Regra prática usada (explicação didática): quando a variável
aparece de forma linear e do outro lado temos soma de quadrados com coeficientes de mesmo sinal (positivos), obtemos um paraboloide elíptico; se os sinais fossem opostos obteríamos um paraboloide hiperbólico ou outro tipo.
Passo 5
Descrição geométrica detalhada (o que levar à prova):
- Vértice: o ponto em que as parcelas quadráticas são zero, ou seja, quando
e . Assim o vértice é
- Eixo do paraboloide: a direção de simetria é paralela ao eixo
, ou seja, vetor diretor . Isso porque só sofre translação constante; as variáveis aparecem só em quadrados deslocados. - Abertura: para valores maiores de
a superfície tem secções transversais elípticas; o paraboloide abre no sentido dos maiores (sentido ). O mínimo valor de (na superfície) é no vértice. - Seções por planos horizontais
: - Para
a interseção é apenas o vértice (ponto). - Para
, substituindo obtemos a curva
que é uma elipse com semi-eixos na direção e na direção . - Para
- Seções por planos verticais:
- Para
constante obtemos em uma parábola com eixo paralelo a :
- Para
constante obtemos em uma parábola:
- Para
Passo 6
Resumo canônico e observações finais rápidas (úteis na hora da prova):
- Forma canônica obtida: deslocando as variáveis para o vértice, a superfície é escrita como
- Tipo: paraboloide elíptico com vértice em
, eixo paralelo a e abertura para . As secções horizontais são elipses como dado acima.
Resposta
Paraboloide elíptico com vértice em
, eixo paralelo ao eixo
(vetor
), abre para
; secções
são elipses
.