Reduzir cada superfícies à forma canônica, identificar e descrever as superfícies de equações dadas:
x^{2}-4 x-z+6=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície de equação
x^{2}-4x-z+6=0.
O que se pede:
  • reduzir a superfície à forma canônica (ou seja, escrever uma equação mais simples por mudança de coordenadas apropriada);
  • identificar qual tipo de superfície é;
  • descrever geometricamente (vértice, direção/asse, abertura, interseções importantes).
Informações relevantes fornecidas:
  • a equação envolve as variáveis x e z de forma quadrática em x e linear em z;
  • a variável y não aparece na equação (isso costuma indicar simetria/independência em relação a y).

Passo 2

Técnica que vamos usar: completar o quadrado em x. Explicando a ideia com calma: quando temos um termo quadrático x^{2} e um termo linear -4x, podemos escrever esses dois termos como um quadrado perfeito menos uma constante. Isso facilita identificar a forma canônica (por exemplo, uma parábola deslocada).
Calculemos passo a passo:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4,
pois (x-2)^{2}=x^{2}-4x+4, então subtraímos 4 para igualar. Substituindo na equação original:
(x-2)^{2}-4 - z + 6 = 0.
Agrupando constantes:
(x-2)^{2} - z + 2 = 0.
Isolando z:
z = (x-2)^{2} + 2.

Passo 3

Interpretando o resultado e escrevendo em coordenadas transladadas (forma canônica). Fazemos a mudança de variável que centraliza o vértice da parábola:
X = x-2,\qquad Y = y,\qquad Z = z-2.
Explicando: escolhemos X e Z assim para que o vértice da parábola fique na origem do novo sistema (X,Y,Z). Substituindo,
Z = X^{2}.
Essa é a forma canônica simples: uma variável quadrada igual à outra variável (sem termos mistos) e sem constantes extras.

Passo 4

Classificação e descrição geométrica (explicação didática):
  • Como a equação canônica é \;Z = X^{2}\;, isso descreve uma parábola no plano Y= constante (ou seja, em cada plano paralelo ao plano xz com y fixo há uma parábola).
  • A variável Y é livre (não aparece na equação), então a curva parabólica se “estende” em linhas paralelas ao eixo y: por isso a superfície é um cilindro parabólico (ou parábola “esticada” ao longo do eixo y).
  • Vértice da parábola: em coordenadas originais, acontece quando X=0 e Z=0, isto é x=2 e z=2. Assim o conjunto de vértices forma a reta
\{(x,y,z): x=2,\\ z=2,\\ y\in\mathbb{R}\},
que é o eixo do cilindro (reta paralela ao eixo y).
  • A parábola abre no sentido de +\!Z, isto é, como Z=X^{2}\ge 0, em coordenadas originais z\ge 2 e cresce quando |x-2| aumenta. Portanto a abertura é para valores de z maiores que 2.
  • Interseções típicas:
    • Plano y= constante: interseção é a parábola z=(x-2)^{2}+2.
    • Plano x= constante x=c: interseção é a reta paralela ao eixo y localizada na altura z=(c-2)^{2}+2.
    • Plano z= constante z=k: se k<2 não há interseção; se k\ge 2 a interseção é a união de duas retas paralelas ao eixo y nas posições x=2\pm\sqrt{k-2}.

Passo 5

Parametrização útil (para visualizar ou calcular): tome u para controlar a parábola e v para a direção do cilindro:
x = 2 + u,\qquad y = v,\qquad z = 2 + u^{2},
com u,v\in\mathbb{R}. Isso gera toda a superfície.
Dica de prova: para reduzir superfícies, sempre procure completar quadrados nas variáveis quadráticas e verificar se alguma variável não aparece (isso indica cilindro). Mantém a calma: completar o quadrado é a ferramenta-chave aqui.

Resposta

Forma canônica: Z = X^{2} com X=x-2, Y=y, Z=z-2.
Identificação e descrição: superfície é um cilindro parabólico (parabolic cylinder) com geratrizes paralelas ao eixo y; vértice da parábola em (x,y,z)=(2,y,2) (reta x=2,\\ z=2), e equação original equivalendo a z=(x-2)^{2}+2.

Exercícios relacionados