Reduzir cada superfícies à forma canônica, identificar e descrever as superfícies de equações dadas:
Passo 1
O enunciado dá a superfície de equação
O que se pede:
- reduzir a superfície à forma canônica (ou seja, escrever uma equação mais simples por mudança de coordenadas apropriada);
- identificar qual tipo de superfície é;
- descrever geometricamente (vértice, direção/asse, abertura, interseções importantes).
Informações relevantes fornecidas:
- a equação envolve as variáveis
e de forma quadrática em e linear em ; - a variável
não aparece na equação (isso costuma indicar simetria/independência em relação a ).
Passo 2
Técnica que vamos usar: completar o quadrado em
. Explicando a ideia com calma: quando temos um termo quadrático
e um termo linear
, podemos escrever esses dois termos como um quadrado perfeito menos uma constante. Isso facilita identificar a forma canônica (por exemplo, uma parábola deslocada).
Calculemos passo a passo:
pois
, então subtraímos
para igualar. Substituindo na equação original:
Agrupando constantes:
Isolando
:
Passo 3
Interpretando o resultado e escrevendo em coordenadas transladadas (forma canônica). Fazemos a mudança de variável que centraliza o vértice da parábola:
Explicando: escolhemos
e
assim para que o vértice da parábola fique na origem do novo sistema
. Substituindo,
Essa é a forma canônica simples: uma variável quadrada igual à outra variável (sem termos mistos) e sem constantes extras.
Passo 4
Classificação e descrição geométrica (explicação didática):
- Como a equação canônica é
, isso descreve uma parábola no plano constante (ou seja, em cada plano paralelo ao plano com fixo há uma parábola). - A variável
é livre (não aparece na equação), então a curva parabólica se “estende” em linhas paralelas ao eixo : por isso a superfície é um cilindro parabólico (ou parábola “esticada” ao longo do eixo ). - Vértice da parábola: em coordenadas originais, acontece quando
e , isto é e . Assim o conjunto de vértices forma a reta
que é o eixo do cilindro (reta paralela ao eixo
).
- A parábola abre no sentido de
, isto é, como , em coordenadas originais e cresce quando aumenta. Portanto a abertura é para valores de maiores que . - Interseções típicas:
- Plano
constante: interseção é a parábola . - Plano
constante : interseção é a reta paralela ao eixo localizada na altura . - Plano
constante : se não há interseção; se a interseção é a união de duas retas paralelas ao eixo nas posições .
- Plano
Passo 5
Parametrização útil (para visualizar ou calcular): tome
para controlar a parábola e
para a direção do cilindro:
com
. Isso gera toda a superfície.
Dica de prova: para reduzir superfícies, sempre procure completar quadrados nas variáveis quadráticas e verificar se alguma variável não aparece (isso indica cilindro). Mantém a calma: completar o quadrado é a ferramenta-chave aqui.
Resposta
Forma canônica:
com
,
,
.
Identificação e descrição: superfície é um cilindro parabólico (parabolic cylinder) com geratrizes paralelas ao eixo
; vértice da parábola em
(reta
), e equação original equivalendo a
.