Reduzir cada superfícies à forma canônica, identificar e descrever as superfícies de equações dadas:
x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+4 y+9=0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: reduzir a superfície dada à forma canônica e identificar/descri‑la. A equação fornecida é
x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+4 y+9=0.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Há termos quadráticos x^{2},y^{2},z^{2}.
  • Há termos lineares -6x e 4y (não há termo em z).
  • Há uma constante 9.
    O objetivo é reescrever essa equação em uma forma canônica reconhecível e dizer qual superfície geométrica ela representa (centro, raio, etc.).

Passo 2

Estratégia que vamos usar (a técnica do “completar o quadrado”): quando aparece
x^{2}+y^{2}+z^{2}+Dx+Ey+Fz+G=0,
pode‑se agrupar e completar o quadrado em cada variável para obter a forma
(x-x_0)^{2}+(y-y_0)^{2}+(z-z_0)^{2}=R^{2},
onde o centro (x_0,y_0,z_0) e o raio R são dados por fórmulas fáceis de aplicar:
x_0=-\frac{D}{2},\qquad y_0=-\frac{E}{2},\qquad z_0=-\frac{F}{2},
R=\sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(\frac{E}{2}\right)^{2}+\left(\frac{F}{2}\right)^{2}-G }.
Essas fórmulas vêm de escrever, por exemplo, x^{2}+Dx=(x+\tfrac{D}{2})^{2}-(\tfrac{D}{2})^{2} e fazer o mesmo para y e z.

Passo 3

Identifiquemos os coeficientes na equação dada comparando com a forma geral:
  • Coeficiente de x: D=-6.
  • Coeficiente de y: E=4.
  • Coeficiente de z: F=0 (não há termo linear em z).
  • Constante: G=9.
Usando as fórmulas,
x_0=-\frac{D}{2}=-\frac{-6}{2}=3, \qquad y_0=-\frac{E}{2}=-\frac{4}{2}=-2, \qquad z_0=-\frac{F}{2}=-\frac{0}{2}=0.

Passo 4

Agora calculamos o raio pela fórmula:
R=\sqrt{\left(\frac{D}{2}\right)^{2}+\left(\frac{E}{2}\right)^{2}+\left(\frac{F}{2}\right)^{2}-G }= \sqrt{\left(-3\right)^{2}+\left(2\right)^{2}+0^{2}-9 }.
Fazendo as contas:
\left(-3\right)^{2}=9,\qquad 2^{2}=4,\qquad 9+4-9=4,
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R=\sqrt{4}=2.

Passo 5

Alternativamente, para ver explicitamente o completar do quadrado na equação original:
x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9,\qquad y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4,
substituindo em
x^{2}+y^{2}+z^{2}-6x+4y+9=0
obtém‑se
(x-3)^{2}-9+(y+2)^{2}-4+z^{2}+9=0.
Somando as constantes: -9-4+9=-4. Então
(x-3)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}-4=0
e finalmente
(x-3)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}=4,
que confirma centro (3,-2,0) e raio 2.

Passo 6

Interpretação geométrica e verificação rápida: a superfície é uma esfera (conjunto dos pontos a uma distância fixa do centro). Por exemplo, o ponto (5,-2,0) está a distância 2 do centro (3,-2,0), então deve satisfazer a equação; de facto,
(5-3)^{2}+(-2+2)^{2}+0^{2}=2^{2}+0+0=4,
confirmando que pertence à esfera.

Resposta

(x-3)^{2}+(y+2)^{2}+z^{2}=4 (forma canônica)
Esfera de centro (3,-2,0) e raio 2.

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