Reduzir cada superfícies à forma canônica, identificar e descrever as superfícies de equações dadas:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: reduzir a superfície dada à forma canônica e identificar/descri‑la. A equação fornecida é
Informações relevantes dadas no enunciado:
- Há termos quadráticos
. - Há termos lineares
e (não há termo em ). - Há uma constante
.
O objetivo é reescrever essa equação em uma forma canônica reconhecível e dizer qual superfície geométrica ela representa (centro, raio, etc.).
Passo 2
Estratégia que vamos usar (a técnica do “completar o quadrado”): quando aparece
pode‑se agrupar e completar o quadrado em cada variável para obter a forma
onde o centro
e o raio
são dados por fórmulas fáceis de aplicar:
Essas fórmulas vêm de escrever, por exemplo,
e fazer o mesmo para
e
.
Passo 3
Identifiquemos os coeficientes na equação dada comparando com a forma geral:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: (não há termo linear em ). - Constante:
.
Usando as fórmulas,
Passo 4
Agora calculamos o raio pela fórmula:
Fazendo as contas:
logo
Passo 5
Alternativamente, para ver explicitamente o completar do quadrado na equação original:
substituindo em
obtém‑se
Somando as constantes:
. Então
e finalmente
que confirma centro
e raio
.
Passo 6
Interpretação geométrica e verificação rápida: a superfície é uma esfera (conjunto dos pontos a uma distância fixa do centro). Por exemplo, o ponto
está a distância
do centro
, então deve satisfazer a equação; de facto,
confirmando que pertence à esfera.
Resposta
Esfera de centro