Reduzir as expressões abaixo a uma só potência: (Exemplo: x^{5} x^{7}=x^{12} )
\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}} (apresentar em duas formas:
potência tanto no numerador quanto no potência tanto no numerador quanto no denominador)

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão
\displaystyle \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}}.
Pede-se apresentar a expressão reduzida a uma só potência em duas formas:
  • forma com uma única potência (pode ser com expoente negativo no numerador);
  • forma com potência no denominador (expoentes positivos), isto é, escrita sem expoente negativo.

Passo 2

Regra que vou usar (apenas a fórmula, sem resolver ainda): para potências de mesma base, a divisão corresponde a subtrair os expoentes.
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n},
onde a é a base (aqui x) e m,n são os expoentes. Essa fórmula vale sempre que a\neq 0.

Passo 3

Aplicando a regra à nossa expressão, subtraímos os expoentes:
\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}} = x^{\frac{1}{2}-2}.
Agora calculamos \frac{1}{2}-2. Para facilitar, escrevemos 2 com o mesmo denominador:
2 = \frac{4}{2},
portanto
\frac{1}{2}-2 = \frac{1}{2}-\frac{4}{2} = -\frac{3}{2}.
Logo, em forma de única potência:
\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{2}} = x^{-\frac{3}{2}}.

Passo 4

Explicando a regra do expoente negativo: para qualquer a\neq 0 e p>0,
a^{-p} = \frac{1}{a^{p}}.
Aplicando isso a x^{-\frac{3}{2}} obtemos a forma com expoente positivo no denominador:
x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}.

Passo 5

Transformando a potência racional em forma de radical (útil na prova): recorde que
x^{\frac{3}{2}} = \bigl(x^{\frac{1}{2}}\bigr)^{3} = (\sqrt{x})^{3} = x\sqrt{x},
ou alternativamente
x^{\frac{3}{2}} = \sqrt{x^{3}}.
Portanto as formas equivalentes da expressão são
x^{-\frac{3}{2}} \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x^{3}}} = \frac{1}{x\sqrt{x}}.

Passo 6

Cheque rápido (para ganhar confiança): tome x=4.
Original: \dfrac{4^{1/2}}{4^{2}}=\dfrac{2}{16}=\dfrac{1}{8}.
Forma única: 4^{-3/2}=1/4^{3/2}=1/8.
Forma no denominador: \dfrac{1}{4^{3/2}}=\dfrac{1}{8}.
Tudo confere.

Resposta

x^{-\frac{3}{2}}
\dfrac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^{3}}} = \dfrac{1}{x\sqrt{x}}

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