Expanda as potências abaixo utilizando as devidas propriedades (Ex.: x^{3+2}=x^{2} x^{2} )
(n+15)^{n+1}

Passo 1

O enunciado pede para “expandir as potências” da expressão dada. A expressão que temos é (n+15)^{n+1}.
Informações relevantes:
  • A base é n+15.
  • O expoente é n+1.
  • Não foi dada restrição explícita sobre n (presume-se inteiro não negativo quando falamos em “expandir” como produto repetido), mas as propriedades algébricas que usaremos valem formalmente para expoentes inteiros e, por extensão, em contextos mais gerais.
O que se pede, portanto, é reescrever/expandir (n+15)^{n+1} usando as propriedades de potências.

Passo 2

Lembrete das propriedades de potência que vamos usar (explicando bem cada símbolo):
  • Para qualquer base a e inteiros m e k vale a propriedade
a^{m+k} = a^{m}\cdot a^{k}.
Aqui a é a base (um número ou expressão algébrica) e m,k são expoentes. Essa propriedade diz que somar expoentes corresponde a multiplicar potências com a mesma base.
  • Outra forma útil é a relação com o expoente 1:
a^{m+1} = a^{m}\cdot a.
Isto é apenas um caso especial da propriedade anterior com k=1.
Também usamos a distributividade da multiplicação sobre a adição quando for útil:
b\cdot (c+d) = b\cdot c + b\cdot d.

Passo 3

Aplique a propriedade a^{m+1}=a^{m}\cdot a à nossa expressão tomando a = n+15 e m = n. Assim:
(n+15)^{n+1} = (n+15)^{n}\cdot (n+15).
Isso já é uma “expansão” direta pela propriedade de soma de expoentes: se o expoente é n+1, separamos em n e 1.

Passo 4

Agora podemos usar a distributividade para reescrever o fator (n+15) multiplicando (n+15)^{n}. Aplicando b\cdot(c+d)=b\cdot c+b\cdot d com b=(n+15)^{n} e c+d=n+15, obtemos:
(n+15)^{n+1} = (n+15)^{n}\cdot n + (n+15)^{n}\cdot 15.
Ou, colocando o fator comum em evidência (que é a forma mais compacta):
(n+15)^{n+1} = (n+15)^{n}\,(n+15).

Passo 5

Um exemplo numérico para você ver que funciona (para fixar a ideia): escolha n=2.
  • A expressão inicial é (2+15)^{2+1} = 17^{3}.
  • Pela forma fatorada: (2+15)^{2}\cdot(2+15) = 17^{2}\cdot17 = 289\cdot17 = 4913.
  • Pela forma distribuída: 2\cdot289 + 15\cdot289 = 578 + 4335 = 4913.
    Tudo bate certinho.

Resposta

(n+15)^{n+1} = (n+15)^{n}\cdot (n+15) = n\,(n+15)^{n} + 15\,(n+15)^{n}

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