Reescreva cada uma das sentenças abaixo de modo que o símbolo de negação apareça somente dentro de predicado, ou seja, de modo que nenhuma negação esteja à frente de um quantificador ou de uma proposição envolvendo operadores lógicos.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL FACULDADE DE COMPUTAÇÃO
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente reescrever uma sentença lógica de forma que a negação (
¬) apareça só dentro dos predicados, não na frente de quantificadores (∀, ∃) ou de operadores lógicos (∧, ∨). A matéria que estamos lidando aqui é lógica matemática, especificamente a manipulação de negações em fórmulas lógicas. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de De Morgan e as regras de negação de quantificadores.Passo 2
Primeiro, vamos olhar a sentença original:
Nossa meta é mover a negação para dentro dos predicados. Para isso, vamos usar algumas regras de negação:
- A negação de “para todo” (
∀) vira “existe” (∃). - A negação de “existe” (
∃) vira “para todo” (∀). - A negação de uma conjunção (
∧) é a disjunção das negações (∨). - A negação de uma disjunção (
∨) é a conjunção das negações (∧).
Passo 3
Vamos começar aplicando a negação no quantificador universal externo
∀ x. Segundo a regra, ¬∀x vira ∃x¬. Então, temos:Passo 4
Agora, precisamos lidar com a negação dentro dos parênteses que envolve uma conjunção (
∧). Usando a regra de De Morgan, ¬(A ∧ B) vira ¬A ∨ ¬B. Aplicando isso:Passo 5
Vamos agora tratar cada uma das negações dentro das disjunções individualmente. Primeiro,
¬∃ y ∀ z P(x, y, z). Segundo a regra, ¬∃ y vira ∀ y ¬. Então:E
¬∃ z ∀ y P(x, y, z) vira:Substituindo de volta na sentença principal:
Passo 6
Agora, vamos tratar as negações
¬∀ z P(x, y, z) e ¬∀ y P(x, y, z). Pelo mesmo princípio, ¬∀ vira ∃ com a negação dentro:e
Substituindo na sentença principal:
Resposta
Então, a sentença reescrita com a negação apenas dentro dos predicados fica: