Reescreva cada um dos teoremas abaixo usando, primeiramente, os termos “condição necessária”, e depois, usando os termos “condição suficiente”:
Os pontos \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) e \left(x_{3}, y_{3}\right) do plano cartesiano são colineares se
A tarefa é reescrever esse teorema primeiro usando a expressão “condição necessária” e depois usando a expressão “condição suficiente”. Não vou resolver nada além disso aqui — só organizei claramente o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Antes de reescrever, vamos lembrar o que significam as palavras-chave (para não confundir na hora da prova).
“Condição necessária” quer dizer: se a propriedade A (aqui: os pontos são colineares) é verdadeira, então a condição B (a igualdade das razões) deve ser verdadeira. Em lógica: A \Rightarrow B. Ou seja, B é necessária para A.
“Condição suficiente” quer dizer: se a condição B é verdadeira, então a propriedade A é verdadeira. Em lógica: B \Rightarrow A. Ou seja, B é suficiente para garantir A.
Um exemplo rápido e informal: “Ter combustível é condição necessária para o carro andar” (sem combustível o carro não anda). “Ter combustível é condição suficiente para o carro andar” só é verdade se nada mais impedir o carro; por isso é preciso cuidar das hipóteses.
Passo 3
Observação técnica importante sobre a fórmula dada: a expressão com frações
só faz sentido quando os denominadores existem, isto é, quando x_{2}\neq x_{1} e x_{3}\neq x_{2}. Se houver igualdade de abscissas (segmentos verticais), a forma por razões falha por divisão por zero. Por isso, ao usar a forma das inclinações é bom acrescentar a hipótese de que os denominadores são não nulos. Existe uma forma equivalente, sem divisão, que funciona sempre: a condição de área zero (determinante igual a zero),
Esse último passo é a mesma equação que se obtém ao expandir o determinante de área (é só conta algébrica). Assim a igualdade das razões (quando bem definida) e o determinante zero são expressões equivalentes de colinearidade.
Passo 5
Agora escrevo a versão pedida como “condição necessária” — lembrando de explicitar as hipóteses de existência das frações:
Condição necessária (forma com inclinações): Se os pontos \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right) são colineares e x_{2}\neq x_{1} e x_{3}\neq x_{2}, então
Comentário final útil para a prova (curto e prático): geralmente vale a pena afirmar o resultado como uma bicondicional usando a forma sem divisão — assim evita ficar repetindo “supondo que os denominadores existam”. Ou seja, é corrente e elegante escrever:
que resume “necessária e suficiente” de uma vez só.]
Resposta
Condição necessária: Se os pontos \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right) são colineares e x_{2}\neq x_{1} e x_{3}\neq x_{2}, então