Reescreva cada um dos teoremas abaixo usando, primeiramente, os termos “condição necessária”, e depois, usando os termos “condição suficiente”:
Os pontos \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) e \left(x_{3}, y_{3}\right) do plano cartesiano são colineares se
\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}} .

Passo 1

O enunciado dá uma condição de colinearidade: os pontos \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right) são colineares se
\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}.
A tarefa é reescrever esse teorema primeiro usando a expressão “condição necessária” e depois usando a expressão “condição suficiente”. Não vou resolver nada além disso aqui — só organizei claramente o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Antes de reescrever, vamos lembrar o que significam as palavras-chave (para não confundir na hora da prova).
  • “Condição necessária” quer dizer: se a propriedade A (aqui: os pontos são colineares) é verdadeira, então a condição B (a igualdade das razões) deve ser verdadeira. Em lógica: A \Rightarrow B. Ou seja, B é necessária para A.
  • “Condição suficiente” quer dizer: se a condição B é verdadeira, então a propriedade A é verdadeira. Em lógica: B \Rightarrow A. Ou seja, B é suficiente para garantir A.
Um exemplo rápido e informal: “Ter combustível é condição necessária para o carro andar” (sem combustível o carro não anda). “Ter combustível é condição suficiente para o carro andar” só é verdade se nada mais impedir o carro; por isso é preciso cuidar das hipóteses.

Passo 3

Observação técnica importante sobre a fórmula dada: a expressão com frações
\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}
só faz sentido quando os denominadores existem, isto é, quando x_{2}\neq x_{1} e x_{3}\neq x_{2}. Se houver igualdade de abscissas (segmentos verticais), a forma por razões falha por divisão por zero. Por isso, ao usar a forma das inclinações é bom acrescentar a hipótese de que os denominadores são não nulos. Existe uma forma equivalente, sem divisão, que funciona sempre: a condição de área zero (determinante igual a zero),
\begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1\\[4pt] 1 & x_2 & y_2\\[4pt] 1 & x_3 & y_3 \end{vmatrix}=0,
que é válida mesmo para linhas verticais.]

Passo 4

Vou mostrar rapidamente por que as duas formas são equivalentes quando as divisões são válidas (útil para a prova).
Se os pontos são colineares e x_{2}\neq x_{1}, então a reta que passa por \left(x_{1},y_{1}\right) e \left(x_{2},y_{2}\right) tem declive
m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}.
Como \left(x_{3},y_{3}\right) também está nessa reta, ao colocar x_3 na equação da reta y-y_1=m(x-x_1) obtém-se exatamente
\frac{y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}=m,
ou, fazendo a multiplicação cruzada (para evitar dividir),
(y_{2}-y_{1})(x_{3}-x_{2})=(y_{3}-y_{2})(x_{2}-x_{1}).
Esse último passo é a mesma equação que se obtém ao expandir o determinante de área (é só conta algébrica). Assim a igualdade das razões (quando bem definida) e o determinante zero são expressões equivalentes de colinearidade.

Passo 5

Agora escrevo a versão pedida como “condição necessária” — lembrando de explicitar as hipóteses de existência das frações:
Condição necessária (forma com inclinações): Se os pontos \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right) são colineares e x_{2}\neq x_{1} e x_{3}\neq x_{2}, então
\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}.
Condição necessária (forma sem divisão): Se os pontos são colineares, então
\begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1\\[4pt] 1 & x_2 & y_2\\[4pt] 1 & x_3 & y_3 \end{vmatrix}=0.]

Passo 6

Agora a versão pedida como “condição suficiente”. Preciso novamente explicitar hipóteses para o caso das frações:
Condição suficiente (forma com inclinações): Se x_{2}\neq x_{1}, x_{3}\neq x_{2} e
\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}},
então os pontos \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right) são colineares.
Condição suficiente (forma sem divisão): Se
\begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1\\[4pt] 1 & x_2 & y_2\\[4pt] 1 & x_3 & y_3 \end{vmatrix}=0,
então os três pontos são colineares.]

Passo 7

Comentário final útil para a prova (curto e prático): geralmente vale a pena afirmar o resultado como uma bicondicional usando a forma sem divisão — assim evita ficar repetindo “supondo que os denominadores existam”. Ou seja, é corrente e elegante escrever:
\text{Os pontos são colineares} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1\\[4pt] 1 & x_2 & y_2\\[4pt] 1 & x_3 & y_3 \end{vmatrix}=0,ã
que resume “necessária e suficiente” de uma vez só.]

Resposta

Condição necessária: Se os pontos \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right) são colineares e x_{2}\neq x_{1} e x_{3}\neq x_{2}, então
\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}.
Condição suficiente: Se x_{2}\neq x_{1}, x_{3}\neq x_{2} e
\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}},
então os pontos \left(x_{1},y_{1}\right),\left(x_{2},y_{2}\right),\left(x_{3},y_{3}\right) são colineares.

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