Reescreva cada um dos teoremas abaixo usando, primeiramente, os termos “condição necessária”, e depois, usando os termos “condição suficiente”:
Se {a, b, c, d, e} é uma sequência de cinco números inteiros consecutivos não negativos que satisfazem a identidade a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}+e^{2}, então {a, b, c, d, e}= {10,11,12,13,14}.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte teorema: “Se \{a,b,c,d,e\} é uma sequência de cinco números inteiros consecutivos não negativos que satisfaz a identidade \,a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}+e^{2}, então \{a,b,c,d,e\}=\{10,11,12,13,14\}.”
O que o exercício pede: reescrever esse teorema (a) usando a linguagem de “condição necessária” e (b) usando a linguagem de “condição suficiente”. Ou seja, transformar a implicação lógica original em frases que usem explicitamente “condição necessária” e depois “condição suficiente”.

Passo 2

Vou deixar claro o significado das expressões lógicas, de forma bem didática e com um exemplo simples. Seja \,P a afirmação “ocorre o evento A” e \,Q a afirmação “ocorre o evento B”. Quando temos a implicação lógica
P \Longrightarrow Q,
podemos dizer de duas maneiras equivalentes:
  • Q é uma condição necessária para P. Isto é, se P acontece então Q tem de acontecer (mas Q sozinho pode não garantir P). Em palavras: “Para que P seja verdade, é necessário que Q seja verdade.”
  • P é uma condição suficiente para Q. Isto é, se P acontece então já basta para garantir Q. Em palavras: “Se P acontece, isso é suficiente para garantir Q.”
Exemplo concreto e rápido (sem fórmulas pesadas):
  • P: “ser um quadrado”
  • Q: “ser um retângulo”
    Aqui P \Longrightarrow Q. Logo “ser retângulo” é condição necessária para “ser quadrado”, e “ser quadrado” é condição suficiente para “ser retângulo”.

Passo 3

Aplicando isso ao teorema dado, identificamos:
  • P = " \{a,b,c,d,e\} é sequência de cinco inteiros consecutivos não negativos que satisfaz \,a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}+e^{2}."
  • Q = " \{a,b,c,d,e\}=\{10,11,12,13,14\}."
O teorema original está na forma P \Longrightarrow Q (se P então Q).

Passo 4

Explicar por que, a partir do teorema, podemos afirmar que Q é condição necessária para P: a própria forma P \Longrightarrow Q significa exatamente isso. Em linguagem natural, isso vira a frase "Uma condição necessária para que P seja verdadeira é Q"; ou seja, sempre que P ocorre, Q ocorre também. Não se está dizendo aqui que Q por si garante P — apenas que sem Q não pode haver P.

Passo 5

Agora verificar se Q é também condição suficiente para P (isto é, se Q \Longrightarrow P também é verdade). Para isso, basta checar diretamente que a sequência \{10,11,12,13,14\} é de cinco inteiros consecutivos não negativos e que satisfaz a identidade. Fazendo as contas:
10^{2}+11^{2}+12^{2}=100+121+144=365,
13^{2}+14^{2}=169+196=365.
Como os dois lados dão 365, a igualdade \,a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}+e^{2} é satisfeita quando \{a,b,c,d,e\}=\{10,11,12,13,14\}. Além disso, \{10,11,12,13,14\} é claramente uma sequência de cinco inteiros consecutivos não negativos. Portanto Q \Longrightarrow P também vale neste caso: a igualdade é satisfeita por essa sequência. Assim, Q é uma condição suficiente para P.

Passo 6

Resumo lógico do que encontramos:
  • O teorema original afirma P \Longrightarrow Q, portanto Q é condição necessária para P.
  • A verificação numérica mostrou também Q \Longrightarrow P, portanto Q é condição suficiente para P. Ou seja, P e Q são equivalentes na prática para este problema (ambos são verdadeiros um em relação ao outro).

Resposta

Condição necessária: Uma condição necessária para que \{a,b,c,d,e\} seja uma sequência de cinco números inteiros consecutivos não negativos que satisfaça \,a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}+e^{2} é que \{a,b,c,d,e\}=\{10,11,12,13,14\}.
Condição suficiente: Uma condição suficiente para que \{a,b,c,d,e\} seja uma sequência de cinco números inteiros consecutivos não negativos que satisfaça \,a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}+e^{2} é que \{a,b,c,d,e\}=\{10,11,12,13,14\}.

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