Reescreva cada um dos teoremas abaixo usando, primeiramente, os termos “condição necessária”, e depois, usando os termos “condição suficiente”:
Se
é uma sequência de cinco números inteiros consecutivos não negativos que satisfazem a identidade
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá o seguinte teorema: “Se
é uma sequência de cinco números inteiros consecutivos não negativos que satisfaz a identidade
, então
.”
O que o exercício pede: reescrever esse teorema (a) usando a linguagem de “condição necessária” e (b) usando a linguagem de “condição suficiente”. Ou seja, transformar a implicação lógica original em frases que usem explicitamente “condição necessária” e depois “condição suficiente”.
O que o exercício pede: reescrever esse teorema (a) usando a linguagem de “condição necessária” e (b) usando a linguagem de “condição suficiente”. Ou seja, transformar a implicação lógica original em frases que usem explicitamente “condição necessária” e depois “condição suficiente”.
Passo 2
Vou deixar claro o significado das expressões lógicas, de forma bem didática e com um exemplo simples. Seja
a afirmação “ocorre o evento A” e
a afirmação “ocorre o evento B”. Quando temos a implicação lógica
podemos dizer de duas maneiras equivalentes:
-
é uma condição necessária para . Isto é, se acontece então tem de acontecer (mas sozinho pode não garantir ). Em palavras: “Para que seja verdade, é necessário que seja verdade.” -
é uma condição suficiente para . Isto é, se acontece então já basta para garantir . Em palavras: “Se acontece, isso é suficiente para garantir .”
Exemplo concreto e rápido (sem fórmulas pesadas):
- P: “ser um quadrado”
- Q: “ser um retângulo”
Aqui. Logo “ser retângulo” é condição necessária para “ser quadrado”, e “ser quadrado” é condição suficiente para “ser retângulo”.
Passo 3
Aplicando isso ao teorema dado, identificamos:
-
= " é sequência de cinco inteiros consecutivos não negativos que satisfaz ." -
= " ."
O teorema original está na forma
(se
então
).
Passo 4
Explicar por que, a partir do teorema, podemos afirmar que
é condição necessária para
: a própria forma
significa exatamente isso. Em linguagem natural, isso vira a frase "Uma condição necessária para que
seja verdadeira é
"; ou seja, sempre que
ocorre,
ocorre também. Não se está dizendo aqui que
por si garante
— apenas que sem
não pode haver
.
Passo 5
Agora verificar se
é também condição suficiente para
(isto é, se
também é verdade). Para isso, basta checar diretamente que a sequência
é de cinco inteiros consecutivos não negativos e que satisfaz a identidade. Fazendo as contas:
Como os dois lados dão
, a igualdade
é satisfeita quando
. Além disso,
é claramente uma sequência de cinco inteiros consecutivos não negativos. Portanto
também vale neste caso: a igualdade é satisfeita por essa sequência. Assim,
é uma condição suficiente para
.
Passo 6
Resumo lógico do que encontramos:
- O teorema original afirma
, portanto é condição necessária para . - A verificação numérica mostrou também
, portanto é condição suficiente para . Ou seja, e são equivalentes na prática para este problema (ambos são verdadeiros um em relação ao outro).
Resposta
Condição necessária: Uma condição necessária para que
seja uma sequência de cinco números inteiros consecutivos não negativos que satisfaça
é que
Condição suficiente: Uma condição suficiente para que
seja uma sequência de cinco números inteiros consecutivos não negativos que satisfaça
é que