Reescreva as expressões abaixo, colocando algum termo em evidência e simplificando o resultado sempre que possível. Quando necessário, suponha que os denominadores são não nulos.
4 x y+8 y z-12 w^{2} y

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a expressão colocando algum termo em evidência (fator comum) e simplificar sempre que possível. A expressão dada é \;4 x y+8 y z-12 w^{2} y. Não há denominadores aqui, então a observação sobre denominadores não nulos não é necessária neste caso. O objetivo final é escrever a expressão na forma fatorada extraindo um fator comum e simplificando.

Passo 2

O que significa “colocar em evidência” (fatorar um termo comum)?
  • Fatorar por evidência consiste em identificar um fator que aparece em todos os termos da soma (pode ser uma variável, um número, ou ambos) e “colocá-lo para fora” de uma multiplicação.
  • Se cada termo for um produto, por exemplo a b, a c e a d, então a é fator comum e podemos escrever a(b+c+d).
    Essa operação é útil porque reduz a expressão e facilita manipulações posteriores.

Passo 3

Identificar os fatores de cada termo da expressão \;4 x y+8 y z-12 w^{2} y.
  • Primeiro termo: \;4 x y = 4\cdot x \cdot y.
  • Segundo termo: \;8 y z = 8\cdot y \cdot z.
  • Terceiro termo: \;-12 w^{2} y = -12\cdot w^{2}\cdot y.
Repare que todos os três termos têm o fator \;y. Agora olhamos os coeficientes numéricos: 4, 8 e -12. O maior número que divide todos eles é 4 (ou seja, \gcd(4,8,12)=4). Portanto um fator comum numérico é 4 e existe também o fator comum variável y. Juntando, o maior fator comum aparente é \;4y.

Passo 4

Fatorando \;4y diretamente:
4 x y+8 y z-12 w^{2} y = 4y\bigl(\,x + 2z - 3w^{2}\,\bigr).
Explicando como se obteve: para cada termo dividimos pelo fator comum 4y:
  • \dfrac{4xy}{4y}=x,
  • \dfrac{8yz}{4y}=2z,
  • \dfrac{-12w^{2}y}{4y}=-3w^{2}.

Passo 5

Uma alternativa didática: fatorar primeiro apenas y e depois o 4 dentro do parêntese, para ver a mesma ideia em duas etapas.
  • Tirando y em evidência:
4 x y+8 y z-12 w^{2} y = y\bigl(\,4x+8z-12w^{2}\,\bigr).
  • Agora dentro do parêntese todos os coeficientes 4,8,-12 têm 4 em comum, então fatorando 4:
y\bigl(\,4x+8z-12w^{2}\,\bigr)=4y\bigl(\,x+2z-3w^{2}\,\bigr),
que é a mesma expressão do passo anterior.

Passo 6

Verificação por distribuição (checar que a fatoração está correta):
Multiplicando de volta,
4y\bigl(\,x+2z-3w^{2}\,\bigr)=4y\cdot x + 4y\cdot 2z + 4y\cdot(-3w^{2}) = 4xy + 8yz -12w^{2}y,
que coincide com a expressão original. Logo a fatoração está correta.

Passo 7

Observação extra (opcional): também é possível fatorar com sinal negativo em evidência, se for conveniente em algum contexto:
4xy+8yz-12w^{2}y = -4y\bigl(-x-2z+3w^{2}\bigr).
Isso é matematicamente equivalente, mas normalmente preferimos evitar o sinal negativo externo se não é necessário.

Resposta

4y\bigl(x+2z-3w^{2}\bigr)

Exercícios relacionados