Reescreva as expressões abaixo, colocando algum termo em evidência e simplificando o resultado sempre que possível. Quando necessário, suponha que os denominadores são não nulos.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a expressão colocando algum termo em evidência (fator comum) e simplificar sempre que possível. A expressão dada é
. Não há denominadores aqui, então a observação sobre denominadores não nulos não é necessária neste caso. O objetivo final é escrever a expressão na forma fatorada extraindo um fator comum e simplificando.
Passo 2
O que significa “colocar em evidência” (fatorar um termo comum)?
- Fatorar por evidência consiste em identificar um fator que aparece em todos os termos da soma (pode ser uma variável, um número, ou ambos) e “colocá-lo para fora” de uma multiplicação.
- Se cada termo for um produto, por exemplo
, e , então é fator comum e podemos escrever .
Essa operação é útil porque reduz a expressão e facilita manipulações posteriores.
Passo 3
Identificar os fatores de cada termo da expressão
.
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
.
Repare que todos os três termos têm o fator
. Agora olhamos os coeficientes numéricos:
,
e
. O maior número que divide todos eles é
(ou seja,
). Portanto um fator comum numérico é
e existe também o fator comum variável
. Juntando, o maior fator comum aparente é
.
Passo 4
Fatorando
diretamente:
Explicando como se obteve: para cada termo dividimos pelo fator comum
:
-
, -
, -
.
Passo 5
Uma alternativa didática: fatorar primeiro apenas
e depois o
dentro do parêntese, para ver a mesma ideia em duas etapas.
- Tirando
em evidência:
- Agora dentro do parêntese todos os coeficientes
têm em comum, então fatorando :
que é a mesma expressão do passo anterior.
Passo 6
Verificação por distribuição (checar que a fatoração está correta):
Multiplicando de volta,
Multiplicando de volta,
que coincide com a expressão original. Logo a fatoração está correta.
Passo 7
Observação extra (opcional): também é possível fatorar com sinal negativo em evidência, se for conveniente em algum contexto:
Isso é matematicamente equivalente, mas normalmente preferimos evitar o sinal negativo externo se não é necessário.