Reescreva as expressões abaixo utilizando as propriedades do logaritmo. Complete as incógnitas com os números corretos que faltam.
\log _{3}\left(81^{100}\right)=F \log _{3}(3)

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade \log_{3}\left(81^{100}\right)=F\log_{3}(3). A tarefa é reescrever o lado esquerdo usando propriedades dos logaritmos e completar a incógnita: encontrar o valor de F.

Passo 2

Usamos a propriedade do logaritmo que transforma potência em coeficiente:
\log_{b}\left(a^{k}\right)=k\log_{b}(a).
Aqui b é a base do logaritmo, a é o argumento e k é o expoente. Aplicando essa regra ao nosso problema, tiramos o expoente 100 para fora do logaritmo:
\log_{3}\left(81^{100}\right)=100\log_{3}(81).

Passo 3

Observe que 81 é uma potência de 3. De fato,
3\cdot3\cdot3\cdot3 = 3^{4} = 81.
Portanto podemos substituir 81 por 3^{4}.

Passo 4

Substituindo 81=3^{4} em \log_{3}(81) e aplicando novamente a propriedade da potência dentro do logaritmo:
\log_{3}(81)=\log_{3}\left(3^{4}\right)=4\log_{3}(3).

Passo 5

Voltando à expressão do Passo 2:
\log_{3}\left(81^{100}\right)=100\log_{3}(81)=100\cdot\bigl(4\log_{3}(3)\bigr)=400\log_{3}(3).
Logo o coeficiente F que multiplica \log_{3}(3) é 400. (Nota: como \log_{3}(3)=1, a expressão vale também 400.)

Resposta

F=400

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