Reescreva as expressões abaixo utilizando as propriedades do logaritmo. Complete as incógnitas com os números corretos que faltam.
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
onde
é uma incógnita que devemos preencher com o número correto. Então o que o problema pede é encontrar o valor de
tal que a igualdade seja verdadeira. Informações relevantes fornecidas:
- A expressão à esquerda é o logaritmo na base
de . - A expressão à direita é
vezes o logaritmo na mesma base de . - O objetivo: determinar
.
Passo 2
Vamos simplificar a potência dentro do logaritmo usando a relação entre
e
. Observação importante (vou explicar por quê é útil):
é uma potência de
. Escrevemos isso em forma de potência:
porque
.
Passo 3
Agora elevamos essa igualdade à vigésima potência, pois no enunciado aparece
. Usamos a regra de potências
. Aplicando:
Isso transforma o argumento do logaritmo numa potência simples de
.
Passo 4
Usamos a propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo de uma potência traz o expoente para frente como fator multiplicativo. Em termos formais:
onde
é a base do logaritmo (aqui
),
é o número elevado e
é o expoente. Essa propriedade vale para qualquer base de logaritmo positiva diferente de
, inclusive
.
Passo 5
Aplicando essa propriedade ao nosso caso com
e
:
Mas lembrando do passo 3,
, logo
Passo 6
Comparando com a forma dada no enunciado
, concluímos que
deve ser o coeficiente que aparece multiplicando
, ou seja
.