Reescreva as expressões abaixo utilizando as propriedades do logaritmo. Complete as incógnitas com os números corretos que faltam.
\log _{\frac{1}{2}}\left(32^{20}\right)=G \log _{\frac{1}{2}}(2)

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\log_{\frac{1}{2}}\!\left(32^{20}\right)=G\log_{\frac{1}{2}}(2),
onde G é uma incógnita que devemos preencher com o número correto. Então o que o problema pede é encontrar o valor de G tal que a igualdade seja verdadeira. Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão à esquerda é o logaritmo na base \dfrac{1}{2} de 32^{20}.
  • A expressão à direita é G vezes o logaritmo na mesma base de 2.
  • O objetivo: determinar G.

Passo 2

Vamos simplificar a potência dentro do logaritmo usando a relação entre 32 e 2. Observação importante (vou explicar por quê é útil): 32 é uma potência de 2. Escrevemos isso em forma de potência:
32 = 2^{5},
porque 2^{5}=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=32.

Passo 3

Agora elevamos essa igualdade à vigésima potência, pois no enunciado aparece 32^{20}. Usamos a regra de potências \bigl(a^{m}\bigr)^{n}=a^{mn}. Aplicando:
32^{20} = \bigl(2^{5}\bigr)^{20} = 2^{5\cdot20} = 2^{100}.
Isso transforma o argumento do logaritmo numa potência simples de 2.

Passo 4

Usamos a propriedade dos logaritmos que diz que o logaritmo de uma potência traz o expoente para frente como fator multiplicativo. Em termos formais:
\log_{a}\!(b^{k}) = k\,\log_{a}(b),
onde a é a base do logaritmo (aqui a=\tfrac{1}{2}), b é o número elevado e k é o expoente. Essa propriedade vale para qualquer base de logaritmo positiva diferente de 1, inclusive \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Aplicando essa propriedade ao nosso caso com b=2 e k=100:
\log_{\frac{1}{2}}\!\left(2^{100}\right) = 100\;\log_{\frac{1}{2}}(2).
Mas lembrando do passo 3, \log_{\frac{1}{2}}\!\left(32^{20}\right)=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(2^{100}\right), logo
\log_{\frac{1}{2}}\!\left(32^{20}\right) = 100\;\log_{\frac{1}{2}}(2).

Passo 6

Comparando com a forma dada no enunciado \log_{\frac{1}{2}}\!\left(32^{20}\right)=G\log_{\frac{1}{2}}(2), concluímos que G deve ser o coeficiente que aparece multiplicando \log_{\frac{1}{2}}(2), ou seja G=100.

Resposta

G=100

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