Reescreva as identidades do exercício anterior em forma equivalente, utilizando a notação nabla vezes para o rotacional.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa reescrever algumas identidades que vimos antes, mas agora usando a notação do rotacional, que é representada por nabla vezes. Para fazer isso, vamos precisar entender o que é o rotacional e como ele funciona nas identidades vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o rotacional. O rotacional de um campo vetorial F, escrito como , mede a tendência do campo de girar em torno de cada ponto. É uma operação importante no cálculo vetorial e aparece em várias identidades, especialmente nas equações de Maxwell na física.

Passo 3

Agora, vamos supor que uma das identidades que precisamos reescrever seja a seguinte:
Aqui, “rot” representa o rotacional. Nosso objetivo é reescrever isso usando a notação nabla vezes.

Passo 4

Vamos substituir “rot” por nabla vezes. Ficaria assim:
Aqui, representa a divergência, que também é importante nas identidades vetoriais.

Passo 5

Outra identidade comum envolve o rotacional de um gradiente. A identidade é:
Substituindo “rot” por nabla vezes, temos:
Isso nos diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar phi é sempre o vetor nulo.

Passo 6

Também temos a identidade do rotacional de um rotacional. A identidade original é:
Reescrevendo com nabla vezes, fica:
Aqui, é o operador laplaciano aplicado ao campo vetorial A.

Resposta

Reescrevendo as identidades utilizando a notação do rotacional nabla vezes, temos:

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