Decida se cada série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
sumn=1^infty cos n-sin nn^3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty cos n - sin nn^3
O objetivo é decidir se essa série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma série ser absolutamente ou condicionalmente convergente. Uma série sum an é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos sum |an| também converge. Se sum an converge, mas sum |an| não converge, então a série é condicionalmente convergente. Se nenhuma das duas séries converge, a série é divergente.

Passo 3

Vamos começar verificando a convergência absoluta da nossa série. Para isso, vamos considerar a série dos valores absolutos:
sumn=1^infty |cos n - sin nn^3|
Sabemos que |cos n| <= 1 e |sin n| <= 1, então:
|cos n - sin n| <= |cos n| + |sin n| <= 2
Portanto:
|cos n - sin nn^3| <= 2n^3

Passo 4

Agora, vamos comparar com a série sum 2n^3. Essa é uma série p com p = 3. Sabemos que uma série p converge se p > 1. Como 3 > 1, a série sum 2n^3 converge.

Passo 5

Pelo Teste da Comparação, já que |cos n - sin nn^3| <= 2n^3 e a série sum 2n^3 converge, então a série dos valores absolutos sum |cos n - sin nn^3| também converge.

Passo 6

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original:
sumn=1^infty cos n - sin nn^3
é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

Exercícios relacionados