Encontre o rotacional dos campos vetoriais: v = < x y z, z^2, x - y >.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o rotacional do campo vetorial . Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre o conceito de rotacional ou curl de um campo vetorial. Para resolver, precisamos conhecer a fórmula do rotacional e saber calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por , mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto. É uma ferramenta muito útil em física e engenharia, especialmente em eletromagnetismo e fluxo de fluidos.

Passo 3

A fórmula para calcular o rotacional de um campo vetorial é dada pelo determinante de uma matriz que envolve os vetores unitários e as derivadas parciais:
Onde são os vetores unitários nos eixos respectivamente.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo vetorial . Identificando as componentes:
Agora, montamos a matriz:

Passo 5

Vamos calcular o determinante:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Passo 6

Juntando todas as componentes, temos:

Resposta

O rotacional do campo vetorial é:

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