Reescreva a integral abaixo usando coordenadas polares, escolha uma delas e calcule:
Passo 1
Vamos reescrever o enunciado da questão para entender o que precisamos fazer. Temos a integral dupla:
O objetivo é reescrever essa integral usando coordenadas polares e, em seguida, calcular o seu valor. Para isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e identificar os novos limites de integração nessa nova coordenação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como ficam as coordenadas cartesianas
em coordenadas polares
:
E a área diferencial
em coordenadas polares fica:
Além disso, a expressão
em polares simplifica para:
Passo 3
Agora, precisamos identificar a região de integração no plano cartesiano para poder convertê-la para coordenadas polares. Os limites de
são de
a
, e para cada
,
varia de
a
.
Isso descreve uma região que está abaixo do eixo
e dentro do círculo de raio 2 (já que
).
Passo 4
Vamos agora determinar os limites em coordenadas polares. Como
varia de
a
, estamos na parte inferior do plano, ou seja,
varia de
a
.
O raio
varia de 0 até o limite do círculo, que é 2.
Portanto, os novos limites de integração são:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral original usando as coordenadas polares:
Passo 6
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral de
na integral de
:
Resposta
O valor da integral é
.