Reescreva a integral abaixo usando coordenadas polares, escolha uma delas e calcule:
integral-raiz2^0 integral-raiz4-y^2^y(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

Vamos reescrever o enunciado da questão para entender o que precisamos fazer. Temos a integral dupla:
integral-raiz2^0 integral-raiz4 - y^2^y (x^2 + y^2) , dx , dy
O objetivo é reescrever essa integral usando coordenadas polares e, em seguida, calcular o seu valor. Para isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e identificar os novos limites de integração nessa nova coordenação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como ficam as coordenadas cartesianas (x, y) em coordenadas polares (r, theta):
x = r cos theta y = r sin theta
E a área diferencial dx , dy em coordenadas polares fica:
dx , dy = r , dr , dtheta
Além disso, a expressão x^2 + y^2 em polares simplifica para:
x^2 + y^2 = r^2

Passo 3

Agora, precisamos identificar a região de integração no plano cartesiano para poder convertê-la para coordenadas polares. Os limites de y são de -raiz2 a 0, e para cada y, x varia de -raiz4 - y^2 a y.
Isso descreve uma região que está abaixo do eixo x e dentro do círculo de raio 2 (já que x^2 + y^2 <= 4).

Passo 4

Vamos agora determinar os limites em coordenadas polares. Como y varia de -raiz2 a 0, estamos na parte inferior do plano, ou seja, theta varia de pi2 a pi.
O raio r varia de 0 até o limite do círculo, que é 2.
Portanto, os novos limites de integração são:
0 <= r <= 2 pi2 <= theta <= pi

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original usando as coordenadas polares:
integralpi2^pi integral0^2 r^2 cdot r , dr , dtheta = integralpi2^pi integral0^2 r^3 , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em relação a r primeiro:
integral0^2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 = 164 - 0 = 4

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral de r na integral de theta:
integralpi2^pi 4 , dtheta = 4 [ theta ]pi2^pi = 4 ( pi - pi2 ) = 4 cdot pi2 = 2pi

Resposta

O valor da integral é 2pi.

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