Calcule o trabalho realizado W=integralC F T d s pelo campo F(x, y)=(y-x) i+(x-y) j ao longo da curca y=x^2 de (-1,1) até (2,4).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o trabalho
W = integralC vec Fcdot T,ds
do campo vetorial
vec F(x,y)=(y - x),vec i + (x - y),vec j
ao longo da curva y=x^2 de (-1,1) até (2,4).
O conteúdo principal é integral de linha de um campo vetorial e uso de campo conservativo.

Passo 2

Verificamos se vec F é conservativo, ou seja, se existe phi(x,y) tal que nablaphi=vec F.
Temos as condições
partialphipartial x=y-x, partialphipartial y=x-y
Integrando em x:
phi(x,y)=integral (y-x),dx=xy-x^22+g(y)
Depois,
partialphipartial y=x+g'(y)=x-y Longrightarrow g'(y)=-y Longrightarrow g(y)=-y^22+const
Portanto
phi(x,y)=xy-x^22-y^22

Passo 3

Como o campo é conservativo, o trabalho independe do caminho e vale
W=phil(2,4r)-phil(-1,1r)
Calculando cada valor:
phi(2,4)=2cdot4-2^22-4^22=8-2-8=-2,
phi(-1,1)=(-1)cdot1-(-1)^22-1^22=-1-tfrac12-tfrac12=-2

Passo 4

Subtraindo os dois resultados:
W=(-2)-(-2)=0

Resposta

W = 0

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