Reescreva as seguintes expressões usando mudança de base:
3^{2 x} na base 9

Passo 1

O que o enunciado pede: reescrever a expressão 3^{2x} utilizando a base 9.
Informações fornecidas: a expressão original é 3^{2x} e a nova base desejada é 9.

Passo 2

Recordando a regra de potências que vamos usar (aqui é só memorização da propriedade):
\text{Se } a=b^{r}\text{ então }a^{k}=(b^{r})^{k}=b^{r k}.ã
Explicando as letras: a e b são bases positivas, r e k são expoentes. A igualdade diz que primeiro trocar a base por uma potência e depois elevar ao expoente é equivalente a multiplicar os expoentes.

Passo 3

Encontrar como escrever a base 3 em termos da base 9. Observa-se que
9=3^{2}.
Tomando a raiz quadrada (ou elevando a 1/2) ambos os lados, obtém-se
3=9^{1/2}.
Isso usa a ideia inversa: se 9=3^{2} então 3=9^{1/2}.

Passo 4

Substituir 3 por 9^{1/2} dentro de 3^{2x} e aplicar a propriedade das potências:
3^{2x}=(9^{1/2})^{2x}.
Agora use a regra (b^{r})^{k}=b^{r k}:
(9^{1/2})^{2x}=9^{(1/2)\cdot 2x}=9^{x}.

Passo 5

Interpretação final e exemplos curtos para fixar:
  • Resultado: 3^{2x}=9^{x}.
    Exemplos rápidos semelhantes:
2^{6}=(4^{1/2})^{6}=4^{3}, \qquad 5^{4}=(25^{1/2})^{4}=25^{2}.
Esses exemplos seguem exatamente o mesmo raciocínio: escrever a base original como potência da nova base e multiplicar os expoentes.

Resposta

9^{x}

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