Reescreva as seguintes expressões usando mudança de base:
\log _{16} x na base 4

Passo 1

O que o enunciado pede: reescrever a expressão \log_{16} x usando a base 4.
Informações dadas: a expressão original é \log_{16} x (base 16, argumento x). Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de mudança de base. Ela diz o seguinte: para quaisquer bases positivas diferentes de 1 e para qualquer argumento positivo,
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}.
Aqui:
  • a é a base original (no nosso caso a=16);
  • b é o argumento do logaritmo (no nosso caso b=x);
  • c é a nova base que queremos usar (no nosso caso c=4).
    Prova rápida e direta da fórmula (para fixar a ideia): seja y=\log_a b. Isso significa que a^y=b. Aplicando \log_c em ambos os lados obtemos \log_c(a^y)=\log_c b. Pela propriedade do logaritmo que tira expoente, \log_c(a^y)=y\log_c a. Então y\log_c a=\log_c b, daí y=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}, que é exatamente a fórmula acima.

Passo 3

Aplicando a fórmula de mudança de base escolhendo c=4,
\log_{16} x = \frac{\log_4 x}{\log_4 16}.

Passo 4

Calcular \log_4 16. Observe que 16 pode ser escrito como potência de 4: 16=4^2. Portanto,
\log_4 16 = 2,
porque \log_4(4^2)=2.

Passo 5

Substituindo esse valor na expressão do Passo 3, obtemos
\log_{16} x = \frac{\log_4 x}{2} = \frac{1}{2}\log_4 x.
Também dá para escrever de outra forma equivalente:
\log_{16} x = \log_4 \sqrt{x} = \log_4 x^{1/2},
já que \log_4 x^{1/2} = \tfrac{1}{2}\log_4 x.

Passo 6

Checagem rápida com um exemplo numérico para ficar tranquilo: se x=16, então \log_{16}16=1. Do outro lado, \tfrac{1}{2}\log_4 16 = \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 1. Conferiu!

Resposta

\dfrac{1}{2}\log_4 x

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