Reescreva as seguintes expressões usando mudança de base:
na base 4
Passo 1
O que o enunciado pede: reescrever a expressão
usando a base
.
Informações dadas: a expressão original é (base
, argumento
). Não há outros dados numéricos.
Informações dadas: a expressão original é
Passo 2
Vamos usar a fórmula de mudança de base. Ela diz o seguinte: para quaisquer bases positivas diferentes de
e para qualquer argumento positivo,
Aqui:
-
é a base original (no nosso caso ); -
é o argumento do logaritmo (no nosso caso ); -
é a nova base que queremos usar (no nosso caso ).
Prova rápida e direta da fórmula (para fixar a ideia): seja. Isso significa que . Aplicando em ambos os lados obtemos . Pela propriedade do logaritmo que tira expoente, . Então , daí , que é exatamente a fórmula acima.
Passo 3
Aplicando a fórmula de mudança de base escolhendo
,
Passo 4
Calcular
. Observe que
pode ser escrito como potência de
:
. Portanto,
porque
.
Passo 5
Substituindo esse valor na expressão do Passo 3, obtemos
Também dá para escrever de outra forma equivalente:
já que
.
Passo 6
Checagem rápida com um exemplo numérico para ficar tranquilo: se
, então
. Do outro lado,
. Conferiu!