Refaça o Exemplo 1.2a para determinar a potência da senóide C \cos \left(\omega_{0} t+\theta\right) calculando a média da energia do sinal em um período T_{0}=2 \pi \omega_{0} (em vez de calcular a média em um intervalo infinitamente grande de tempo). Mostre também que a potência de um sinal CC x(t)=C_{0} é C_{0}^{2} e seu valor rms é C_{0}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado (resumindo claramente).
  • Temos o sinal senoidal x(t)=C\cos\!\bigl(\omega_{0}t+\theta\bigr).
  • Devemos determinar a potência desse sinal calculando a média da energia no período T_{0}=2\pi/\omega_{0}.
  • Também devemos mostrar que, para um sinal CC x(t)=C_{0}, a potência é C_{0}^{2} e o valor rms é C_{0}.
    Observação: em todas as contas a constante C e C_{0} são números reais; onde for relevante eu explicito o caso do sinal negativo (rms envolve valor absoluto).

Passo 2

Definição usada — média da energia (potência média) em um período.
  • Para um sinal periódico x(t) com período T_{0}, a potência média (ou simplesmente potência) é definida por
P=\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} \bigl|x(t)\bigr|^{2}\,dt,
onde t_{0} é qualquer instante (a média sobre um período é independente de t_{0}).
  • Aqui \bigl|x(t)\bigr|^{2} significa o quadrado do valor instantâneo do sinal (para sinais reais isso é x(t)^2).
  • O valor rms (root-mean-square) de x(t) em um período é
x_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} x(t)^{2}\,dt}=\sqrt{P}.
Vou aplicar essas fórmulas ao sinal senoidal e depois ao sinal CC.

Passo 3

Aplicando a definição ao sinal senoidal x(t)=C\cos\!\bigl(\omega_{0}t+\theta\bigr).
  • Escrevo a potência segundo a definição:
P=\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} C^{2}\cos^{2}\!\bigl(\omega_{0}t+\theta\bigr)\,dt.
  • Factorizo C^{2} (constante):
P=\frac{C^{2}}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} \cos^{2}\!\bigl(\omega_{0}t+\theta\bigr)\,dt.

Passo 4

Usar a identidade trigonométrica para \cos^{2}.
  • Identidade útil:
\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos(2\alpha)}{2}.
  • Substituo \alpha=\omega_{0}t+\theta:
\cos^{2}\!\bigl(\omega_{0}t+\theta\bigr)=\frac{1+\cos\bigl(2\omega_{0}t+2\theta\bigr)}{2}.
  • Então a integral fica
P=\frac{C^{2}}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} \frac{1+\cos\bigl(2\omega_{0}t+2\theta\bigr)}{2}\,dt = \frac{C^{2}}{2T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} \bigl[1+\cos\bigl(2\omega_{0}t+2\theta\bigr)\bigr]\,dt.

Passo 5

Avalio as duas integrais separadamente.
  • A primeira integral:
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} 1\,dt = T_{0}.
  • A segunda integral:
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} \cos\bigl(2\omega_{0}t+2\theta\bigr)\,dt.
Note que \cos\bigl(2\omega_{0}t+2\theta\bigr) é uma função periódica com período T'= \dfrac{2\pi}{2\omega_{0}}=\dfrac{\pi}{\omega_{0}}=\dfrac{T_{0}}{2}. Integrar uma cossenoide sobre um número inteiro de seus períodos dá zero; aqui o intervalo de integração [t_{0},t_{0}+T_{0}] contém exatamente dois períodos de \cos(2\omega_{0}t+2\theta), então a integral é zero. Formalmente:
\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}} \cos\bigl(2\omega_{0}t+2\theta\bigr)\,dt = 0.

Passo 6

Combino os resultados e obtenho a potência da senóide.
  • Substituindo na expressão de P:
P=\frac{C^{2}}{2T_{0}}\bigl(T_{0}+0\bigr)=\frac{C^{2}}{2}.
Portanto a potência média da senóide C\cos(\omega_{0}t+\theta) é \dfrac{C^{2}}{2}. Observação: o resultado independe de \theta e de t_{0}.

Passo 7

Calcular o valor rms da senóide (para treino).
  • Pelo passo 2, x_{\text{rms}}=\sqrt{P}. Assim
x_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{C^{2}}{2}}=\frac{|C|}{\sqrt{2}}.
Se C\ge 0 então x_{\text{rms}}=C/\sqrt{2}. Tipicamente em sinais elétricos toma-se C não negativo e escreve-se C/\sqrt{2}.

Passo 8

Agora faço o caso do sinal CC x(t)=C_{0}. Calcular potência média em qualquer período T.
  • A potência segundo a definição (escolho um período qualquer T):
P_{\text{CC}}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} C_{0}^{2}\,dt.
  • Como C_{0}^{2} é constante:
P_{\text{CC}}=\frac{C_{0}^{2}}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} 1\,dt = \frac{C_{0}^{2}}{T}\cdot T = C_{0}^{2}.
Logo a potência do sinal CC é C_{0}^{2}.

Passo 9

Calcular o valor rms do CC.
  • O valor rms é a raiz quadrada da média do quadrado:
x_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} C_{0}^{2}\,dt}=\sqrt{C_{0}^{2}}=|C_{0}|.
  • Se C_{0}\ge 0 então x_{\text{rms}}=C_{0}. Por isso muitas vezes se diz simplesmente que o valor rms de uma constante C_{0} é C_{0} (pressupõe-se C_{0} não negativo).

Resposta

A potência da senóide C\cos\!\bigl(\omega_{0}t+\theta\bigr) é \dfrac{C^{2}}{2}.
A potência do sinal CC x(t)=C_{0} é C_{0}^{2}.
O valor rms do sinal CC x(t)=C_{0} é |C_{0}| (para C_{0}\ge 0 isso dá C_{0}).

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