V=\pi x^{2} y ; x=\cos z \operatorname{sen} t ; y=z^{2} e^{t} ; \frac{\partial V}{\partial z} ; \frac{\partial V}{\partial t}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes relações (todas retiradas do próprio enunciado):
-
. -
. -
.
O que é pedido:
- Calcular
. - Calcular
.
Observação importante:
é vista aqui como função de
e
, mas
e
dependem de
e
. Logo
e
devem ser obtidas aplicando a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Explicando a ferramenta principal (regra da cadeia para variáveis dependentes):
Se e
,
, então as derivadas parciais de
em relação a
e
são dadas por
Se
Aqui cada símbolo significa:
-
: derivada parcial de em relação a , tratando como constante. -
: derivada (normal) de em relação a , tratando como constante.
E o mesmo raciocínio para os outros termos. Essa fórmula é só uma versão multivariável da cadeia que você já conhece.
Passo 3
Calcular
e
a partir de
.
- Tratar
como constante para . É uma função do tipo constante vezes . Aplicando a regra do poder:
Explicando devagar: deriva-se
obtendo
e multiplica-se pelo fator constante
.
- Tratar
como constante para . Como é linear em com coeficiente :
Passo 4
Calcular as derivadas de
em relação a
e a
.
- Para
: aqui é constante. é produto de (função de ) por (constante). Então
Usei que
.
- Para
: agora é constante. é produto de constante por , então
Passo 5
Calcular as derivadas de
em relação a
e a
.
- Para
: é constante (quando derivamos em relação a ), então
- Para
: agora é constante, é vezes , então
Passo 6
Montar
usando a fórmula da cadeia:
Substituindo os resultados anteriores:
Agora substituímos
e
para expressar tudo em
.
Calcule o primeiro termo:
Calcule o segundo termo:
Somando os dois termos:
Podemos fatorar
para simplificar:
Ou, fatorando
,
Passo 7
Montar
usando a regra da cadeia:
Substituindo os termos:
Substituindo
e
:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando:
Fatorando
:
Também se desejar usar identidade trigonométrica
, obteria
Passo 8
Dica rápida para prova (motivação): memorize o padrão da regra da cadeia para
com
,
. Em problemas parecidos, primeiro calcule
(mais simples), depois as derivadas de
e
em relação às variáveis independentes, e só então junte tudo. Faz assim que evita confusão e economiza tempo. Tu está indo bem — respira fundo e confia no passo a passo!