V=\pi x^{2} y ; x=\cos z \operatorname{sen} t ; y=z^{2} e^{t} ; \frac{\partial V}{\partial z} ; \frac{\partial V}{\partial t}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes relações (todas retiradas do próprio enunciado):
  • V=\pi x^{2}y.
  • x=\cos z\,\operatorname{sen} t.
  • y=z^{2}e^{t}.
O que é pedido:
  • Calcular \dfrac{\partial V}{\partial z}.
  • Calcular \dfrac{\partial V}{\partial t}.
Observação importante: V é vista aqui como função de x e y, mas x e y dependem de z e t. Logo \dfrac{\partial V}{\partial z} e \dfrac{\partial V}{\partial t} devem ser obtidas aplicando a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Explicando a ferramenta principal (regra da cadeia para variáveis dependentes):
Se V=V(x,y) e x=x(z,t), y=y(z,t), então as derivadas parciais de V em relação a z e t são dadas por
\frac{\partial V}{\partial z}=\frac{\partial V}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial z}+\frac{\partial V}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}, \qquad \frac{\partial V}{\partial t}=\frac{\partial V}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \dfrac{\partial V}{\partial x}: derivada parcial de V em relação a x, tratando y como constante.
  • \dfrac{\partial x}{\partial z}: derivada (normal) de x em relação a z, tratando t como constante.
    E o mesmo raciocínio para os outros termos. Essa fórmula é só uma versão multivariável da cadeia que você já conhece.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial V}{\partial x} e \dfrac{\partial V}{\partial y} a partir de V=\pi x^{2}y.
  • Tratar y como constante para \dfrac{\partial V}{\partial x}. É uma função do tipo constante vezes x^{2}. Aplicando a regra do poder:
\frac{\partial V}{\partial x}=\pi\cdot 2x\cdot y=2\pi x y.
Explicando devagar: deriva-se x^{2} obtendo 2x e multiplica-se pelo fator constante \pi y.
  • Tratar x como constante para \dfrac{\partial V}{\partial y}. Como V é linear em y com coeficiente \pi x^{2}:
\frac{\partial V}{\partial y}=\pi x^{2}.

Passo 4

Calcular as derivadas de x=\cos z\,\operatorname{sen} t em relação a z e a t.
  • Para \dfrac{\partial x}{\partial z}: aqui t é constante. x é produto de \cos z (função de z) por \operatorname{sen} t (constante). Então
\frac{\partial x}{\partial z}=(\operatorname{sen} t)\frac{d}{dz}(\cos z)=(\operatorname{sen} t)(-\,\operatorname{sen} z)=-\operatorname{sen} z\,\operatorname{sen} t.
Usei que \dfrac{d}{dz}\cos z=-\sin z.
  • Para \dfrac{\partial x}{\partial t}: agora z é constante. x=\cos z\cdot\operatorname{sen} t é produto de constante \cos z por \operatorname{sen} t, então
\frac{\partial x}{\partial t}=\cos z\cdot\frac{d}{dt}(\operatorname{sen} t)=\cos z\cdot\cos t=\cos z\,\cos t.

Passo 5

Calcular as derivadas de y=z^{2}e^{t} em relação a z e a t.
  • Para \dfrac{\partial y}{\partial z}: e^{t} é constante (quando derivamos em relação a z), então
\frac{\partial y}{\partial z}=e^{t}\frac{d}{dz}(z^{2})=e^{t}\cdot 2z=2z e^{t}.
  • Para \dfrac{\partial y}{\partial t}: agora z é constante, y=z^{2}e^{t} é z^{2} vezes e^{t}, então
\frac{\partial y}{\partial t}=z^{2}\frac{d}{dt}(e^{t})=z^{2}e^{t}.

Passo 6

Montar \dfrac{\partial V}{\partial z} usando a fórmula da cadeia:
\frac{\partial V}{\partial z}=\frac{\partial V}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial z}+\frac{\partial V}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}.
Substituindo os resultados anteriores:
\frac{\partial V}{\partial z}=(2\pi x y)(-\,\operatorname{sen} z\,\operatorname{sen} t)+(\pi x^{2})(2z e^{t}).
Agora substituímos x=\cos z\,\operatorname{sen} t e y=z^{2}e^{t} para expressar tudo em z,t.
Calcule o primeiro termo:
2\pi x y(-\operatorname{sen} z\,\operatorname{sen} t) =2\pi(\cos z\,\operatorname{sen} t)(z^{2}e^{t})(-\,\operatorname{sen} z\,\operatorname{sen} t) =-2\pi z^{2}e^{t}\cos z\,\operatorname{sen} z\,\operatorname{sen}^{2}t.
Calcule o segundo termo:
\pi x^{2}(2z e^{t}) =\pi(\cos^{2}z\,\operatorname{sen}^{2}t)(2z e^{t}) =2\pi z e^{t}\cos^{2}z\,\operatorname{sen}^{2}t.
Somando os dois termos:
\frac{\partial V}{\partial z} =-2\pi z^{2}e^{t}\cos z\,\operatorname{sen} z\,\operatorname{sen}^{2}t +2\pi z e^{t}\cos^{2}z\,\operatorname{sen}^{2}t.
Podemos fatorar 2\pi e^{t}\operatorname{sen}^{2}t\,z para simplificar:
\frac{\partial V}{\partial z} =2\pi e^{t}\operatorname{sen}^{2}t\,z\bigl(\cos^{2}z - z\cos z\,\operatorname{sen} z\bigr).
Ou, fatorando \cos z,
\frac{\partial V}{\partial z}=2\pi e^{t}\,z\,\operatorname{sen}^{2}t\,\cos z\bigl(\cos z - z\operatorname{sen} z\bigr).

Passo 7

Montar \dfrac{\partial V}{\partial t} usando a regra da cadeia:
\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{\partial V}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Substituindo os termos:
\frac{\partial V}{\partial t}=(2\pi x y)(\cos z\,\cos t)+(\pi x^{2})(z^{2}e^{t}).
Substituindo x=\cos z\,\operatorname{sen} t e y=z^{2}e^{t}:
Primeiro termo:
2\pi x y(\cos z\,\cos t) =2\pi(\cos z\,\operatorname{sen} t)(z^{2}e^{t})(\cos z\,\cos t) =2\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\,\operatorname{sen} t\,\cos t.
Segundo termo:
\pi x^{2}(z^{2}e^{t}) =\pi(\cos^{2}z\,\operatorname{sen}^{2}t)(z^{2}e^{t}) =\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\,\operatorname{sen}^{2}t.
Somando:
\frac{\partial V}{\partial t} =2\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\,\operatorname{sen} t\,\cos t +\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\,\operatorname{sen}^{2}t.
Fatorando \pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z:
\frac{\partial V}{\partial t} =\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\bigl(2\operatorname{sen} t\,\cos t+\operatorname{sen}^{2}t\bigr).
Também se desejar usar identidade trigonométrica 2\operatorname{sen} t\cos t=\operatorname{sen} 2t, obteria
\frac{\partial V}{\partial t}=\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\bigl(\operatorname{sen} 2t+\operatorname{sen}^{2}t\bigr).

Passo 8

Dica rápida para prova (motivação): memorize o padrão da regra da cadeia para V(x,y) com x=x(z,t), y=y(z,t). Em problemas parecidos, primeiro calcule V_x, V_y (mais simples), depois as derivadas de x e y em relação às variáveis independentes, e só então junte tudo. Faz assim que evita confusão e economiza tempo. Tu está indo bem — respira fundo e confia no passo a passo!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial V}{\partial z}=2\pi e^{t}\,z\,\operatorname{sen}^{2}t\bigl(\cos^{2}z - z\cos z\,\operatorname{sen} z\bigr)
\displaystyle \frac{\partial V}{\partial t}=\pi z^{2}e^{t}\cos^{2}z\bigl(2\operatorname{sen} t\,\cos t+\operatorname{sen}^{2}t\bigr)

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