Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
u=\operatorname{cosh} \frac{y}{x} ; x=3 r^{2} s ; y=6 s e^{r} ; \frac{\partial u}{\partial r} ; \frac{\partial u}{\partial s}
u=\operatorname{cosh} \frac{y}{x} ; x=3 r^{2} s ; y=6 s e^{r} ; \frac{\partial u}{\partial r} ; \frac{\partial u}{\partial s}
Passo 1
O enunciado dá as funções
e pede as derivadas parciais
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A variável
é dada em termos de e . - As variáveis
e são funções de e . - Deve-se usar a regra da cadeia para passar de
para derivadas em relação a e .
Passo 2
Regra da cadeia (forma usada aqui). Se
com
e
, então
Aqui
. Vou primeiro calcular
e
.
Passo 3
Derivadas parciais de
.
Defina
. Então
e
. Pela regra da cadeia:
Agora as derivadas do quociente
:
Portanto
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Dado
:
Dado
:
(Nas contas usei a regra do produto e a derivada de
que é
.)
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia para
usando as fórmulas obtidas:
Substituindo
,
,
e
:
Fatorando
e
:
Colocando sobre um denominador comum
:
Passo 6
Substituir agora
e
e simplificar para obter uma forma só em
(observe que muitas coisas em
se cancelam):
Calcule o numerador :
Calcule o numerador
O denominador
. Logo
Simplificando os fatores:
Finalmente observe que
portanto a expressão pode ser escrita sem
:
Passo 7
Agora
pela mesma regra da cadeia:
Substituindo os valores:
Fatorando
:
Substituindo
e
:
Somando os dois termos dá zero, portanto
Isso também era esperado:
não depende de
, logo
também não depende de
.
Passo 8
Resumo didático rápido (para a prova): primeiro calcule
e
da função composta
usando a cadeia via
. Depois calcule
e aplique a fórmula da cadeia. Sempre valem os atalhos: se perceber que
elimina uma variável (aqui
), então a derivada em relação a essa variável será zero — mas mostre o cálculo por segurança.