Ache a derivada parcial indicada, usando a regra da cadeia.
u=\operatorname{cosh} \frac{y}{x} ; x=3 r^{2} s ; y=6 s e^{r} ; \frac{\partial u}{\partial r} ; \frac{\partial u}{\partial s}

Passo 1

O enunciado dá as funções
u=\operatorname{cosh}\!\left(\frac{y}{x}\right),\qquad x=3r^{2}s,\qquad y=6s e^{r},
e pede as derivadas parciais \dfrac{\partial u}{\partial r} e \dfrac{\partial u}{\partial s}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A variável u é dada em termos de x e y.
  • As variáveis x e y são funções de r e s.
  • Deve-se usar a regra da cadeia para passar de u(x,y) para derivadas em relação a r e s.

Passo 2

Regra da cadeia (forma usada aqui). Se u=f(x,y) com x=x(r,s) e y=y(r,s), então
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}, \qquad \frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}.
Aqui f(x,y)=\operatorname{cosh}\!\left(\dfrac{y}{x}\right). Vou primeiro calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 3

Derivadas parciais de f(x,y)=\operatorname{cosh}\!\left(\dfrac{y}{x}\right).
Defina z=\dfrac{y}{x}. Então f(x,y)=\operatorname{cosh}(z) e \dfrac{d}{dz}\operatorname{cosh}(z)=\operatorname{sinh}(z). Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y}{x}\right), \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{x}\right).
Agora as derivadas do quociente z=\dfrac{y}{x}:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{y}{x}\right)=-\frac{y}{x^{2}}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{x}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\left(-\frac{y}{x^{2}}\right)=-\frac{y}{x^{2}}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right),
\frac{\partial f}{\partial y}=\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x e y em relação a r e s.
Dado x=3r^{2}s:
\frac{\partial x}{\partial r}=6rs,\qquad \frac{\partial x}{\partial s}=3r^{2}.
Dado y=6s e^{r}:
\frac{\partial y}{\partial r}=6s e^{r},\qquad \frac{\partial y}{\partial s}=6 e^{r}.
(Nas contas usei a regra do produto e a derivada de e^{r} que é e^{r}.)

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia para \dfrac{\partial u}{\partial r} usando as fórmulas obtidas:
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r}.
Substituindo \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \dfrac{\partial x}{\partial r} e \dfrac{\partial y}{\partial r}:
\frac{\partial u}{\partial r}= \left(-\frac{y}{x^{2}}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\right)(6rs) +\left(\frac{1}{x}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\right)(6s e^{r}).
Fatorando \operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{y}{x}\right) e 6s:
\frac{\partial u}{\partial r}=6s\,\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\left(-\frac{yr}{x^{2}}+\frac{e^{r}}{x}\right).
Colocando sobre um denominador comum x^{2}:
\frac{\partial u}{\partial r}=6s\,\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\cdot\frac{-yr+e^{r}x}{x^{2}}.

Passo 6

Substituir agora x=3r^{2}s e y=6s e^{r} e simplificar para obter uma forma só em r (observe que muitas coisas em s se cancelam):
Calcule o numerador -yr+e^{r}x:
-yr+e^{r}x = -\bigl(6s e^{r}\bigr)r + e^{r}\bigl(3r^{2}s\bigr) = e^{r}s\bigl(-6r+3r^{2}\bigr)=3r s e^{r}(r-2).
O denominador x^{2}=(3r^{2}s)^{2}=9r^{4}s^{2}. Logo
\frac{\partial u}{\partial r}=6s\,\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\cdot\frac{3r s e^{r}(r-2)}{9r^{4}s^{2}}.
Simplificando os fatores:
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{18 r s^{2} e^{r}(r-2)}{9 r^{4} s^{2}}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right) =\frac{2 e^{r}(r-2)}{r^{3}}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right).
Finalmente observe que
\frac{y}{x}=\frac{6s e^{r}}{3r^{2}s}=\frac{2 e^{r}}{r^{2}},
portanto a expressão pode ser escrita sem x,y,s:
\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{2 e^{r}(r-2)}{r^{3}}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{2 e^{r}}{r^{2}}\right).

Passo 7

Agora \dfrac{\partial u}{\partial s} pela mesma regra da cadeia:
\frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}.
Substituindo os valores:
\frac{\partial u}{\partial s}= \left(-\frac{y}{x^{2}}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\right)(3r^{2}) +\left(\frac{1}{x}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\right)(6 e^{r}).
Fatorando \operatorname{sinh}\!\left(\dfrac{y}{x}\right):
\frac{\partial u}{\partial s}=\operatorname{sinh}\!\left(\frac{y}{x}\right)\left(-\frac{3r^{2}y}{x^{2}}+\frac{6 e^{r}}{x}\right).
Substituindo x=3r^{2}s e y=6s e^{r}:
-\frac{3r^{2}y}{x^{2}}=-\frac{3r^{2}\cdot 6s e^{r}}{9r^{4}s^{2}}=-\frac{2 e^{r}}{r^{2}s},
\frac{6 e^{r}}{x}=\frac{6 e^{r}}{3r^{2}s}=\frac{2 e^{r}}{r^{2}s}.
Somando os dois termos dá zero, portanto
\frac{\partial u}{\partial s}=0.
Isso também era esperado: \dfrac{y}{x}=\dfrac{2 e^{r}}{r^{2}} não depende de s, logo u=\operatorname{cosh}\!\left(\dfrac{y}{x}\right) também não depende de s.

Passo 8

Resumo didático rápido (para a prova): primeiro calcule \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} da função composta f(x,y)=\operatorname{cosh}(y/x) usando a cadeia via z=y/x. Depois calcule \partial x/\partial r,\partial x/\partial s,\partial y/\partial r,\partial y/\partial s e aplique a fórmula da cadeia. Sempre valem os atalhos: se perceber que y/x elimina uma variável (aqui s), então a derivada em relação a essa variável será zero — mas mostre o cálculo por segurança.

Resposta

\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{2 e^{r}(r-2)}{r^{3}}\operatorname{sinh}\!\left(\frac{2 e^{r}}{r^{2}}\right)
\frac{\partial u}{\partial s}=0

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