Refaça o exemplo 2-7 (Fogler) mostrado na aula 03 para os casos nos quais a conversão intermediária seja:
(a) 30 \%
(b) 70 \%
(c) Discuta os resultados.
A vazão molar é 52 \mathrm{~mol} / \mathrm{min}.

Passo 1

O enunciado que você deu contém estas informações claras:
  • Requisito: “Refaça o exemplo 2-7 (Fogler) mostrado na aula 03 para os casos nos quais a conversão intermediária seja:” \;(\text{a})\;30\%, \;(\text{b})\;70\%, e \;(\text{c}) discutir os resultados.
  • Dados numéricos fornecidos: vazão molar \;F_{A0}=52\\ \mathrm{mol/min}.
O que o enunciado pede (resumindo em perguntas):
  • Para cada caso \;X_1=0{,}30 e \;X_1=0{,}70: refazer o exemplo 2-7 — isto normalmente implica calcular volumes dos reatores (ou outra grandeza do exemplo) quando a conversão intermediária é aquela indicada.
  • Fazer uma discussão qualitativa/quantitativa dos resultados.
Informações relevantes que estão faltando e que são necessárias para resolver o problema numérico:
  • A lei de velocidade da reação (por exemplo, -r_A = k C_A para 1ª ordem, ou outra ordem), incluindo a expressão funcional de -r_A em função de C_A ou X.
  • O valor da constante de velocidade k (e unidades: \mathrm{min^{-1}} ou \mathrm{L/mol\cdot min} conforme a ordem).
  • A concentração molar de alimentação C_{A0} (ou volume molar específico que permita relacionar vazão molar com concentração).
  • O tipo de reatores usados no exemplo (CSTR, PFR, série de CSTRs, combinação, etc.) e o objetivo exato (por exemplo, chegar a uma conversão final X_f dada).
  • Qualquer outra condição inicial (temperatura, pressão, estequiometria, se r depende de temperatura, etc.)
Observação principal: sem esses itens (especialmente a lei de velocidade, k e C_{A0}, e o tipo de reatores), não é possível calcular volumes numéricos únicos. A seguir eu ensino passo a passo como proceder assim que esses dados estiverem disponíveis, mostrando as fórmulas e o raciocínio que você usará na prova.

Passo 2

O que você precisa conhecer (a teoria e as fórmulas essenciais) — aula rápida e prática para a prova.
Definições e notação (tudo em \LaTeX):
  • \;F_{A0} : vazão molar de A na alimentação (unidade: \mathrm{mol/min}). No seu caso \;F_{A0}=52\\ \mathrm{mol/min}.
  • \;C_{A0} : concentração molar de A na alimentação (unidade: \mathrm{mol/L} ou \mathrm{mol/m^3}).
  • \;X : conversão de A (fração molar convertida), \;X\in[0,1].
  • \;r_A : velocidade de reação na forma molar por volume, \;r_A (unidade: \mathrm{mol/(L\cdot min)} ou \mathrm{mol/(m^3\cdot min)}). Notação usual: taxa de consumo, -r_A>0.
  • Relação entre concentração e conversão (para fluxo contínuo com estequiometria simples A → produtos e fluxo volumétrico v_0 constante): C_A = C_{A0} (1-X).
  • Relação entre vazão molar e concentração (se o volume de vazão volumétrica \dot V for conhecido): F_{A0} = C_{A0}\,\dot V.Se \dot V não for dado, pode-se trabalhar em termos de F_{A0} e C_{A0}.
Equações de projeto que você deve saber (estas são as ferramentas-práticas para prova):
  1. Para um CSTR (reator contínuo agitado ideal), a equação de balanço em regime estacionário dá:
\boxed{V = F_{A0}\,\frac{X}{-r_A}}
onde -r_A é avaliado nas condições do efluente do CSTR (ou seja, na concentração correspondente a X). Explicação: balanço molar estacionário:
F_{A0} - F_A - V r_A = 0,\qquad F_A = F_{A0}(1-X).
Substituindo e rearranjando obtém-se a expressão acima.
  1. Para um PFR (reator tubular ideal, Plug Flow Reactor), a equação de projeto é:
\boxed{V = F_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{-r_A(X)}}
onde -r_A(X) é a taxa escrita como função da conversão X, usando C_A = C_{A0}(1-X).
  1. Para dois reatores em série (por exemplo, dois CSTRs em série ou dois PFRs consecutivos), se a conversão na saída do primeiro for \;X_1 e a conversão final exigida for \;X_f, então:
  • Para dois CSTRs em série (cada um com seu volume V_1, V_2): V_1 = F_{A0}\,\frac{X_1}{-r_A\big(C_{A0}(1-X_1)\big)},\qquad V_2 = F_{A0}\,\frac{X_f-X_1}{-r_A\big(C_{A0}(1-X_f)\big)}Observação: em CSTRs o -r_A do segundo é avaliado na concentração de saída do segundo (i.e., para X_f), porque a fórmula do CSTR usa a taxa no ponto de saída de cada reator.
  • Para dois PFRs em série (volume do primeiro para ir de 0 a X_1, do segundo de X_1 a X_f): V_1 = F_{A0}\int_{0}^{X_1}\frac{dX}{-r_A(X)},\qquad V_2 = F_{A0}\int_{X_1}^{X_f}\frac{dX}{-r_A(X)}.e o volume total é V=V_1+V_2.
Dica de prova: escreva sempre o -r_A em função de X usando C_A=C_{A0}(1-X) antes de integrar ou de avaliar o denominador no caso do CSTR.

Passo 3

Exemplos concretos de leis de velocidade e as fórmulas resultantes (para você aplicar direto quando souber k e C_{A0}). Vou usar dois casos clássicos — isso serve como “receita de prova”.
Caso A — reação de primeira ordem simples:
-r_A = k C_A = k C_{A0}(1-X).
  • Para um CSTR que atinge conversão X: V_{\text{CSTR}} = F_{A0}\,\frac{X}{k C_{A0}(1-X)}.Explicando em palavras: a taxa é proporcional à concentração; em CSTR a concentração de saída é baixa quando X grande, então a taxa no denominador fica menor e o volume cresce.
  • Para um PFR que vai de 0 até X: V_{\text{PFR}} = F_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{k C_{A0}(1-X)} = \frac{F_{A0}}{k C_{A0}}\Big[ -\ln(1-X) \Big]_0^{X} = \frac{F_{A0}}{k C_{A0}}\ln\left(\frac{1}{1-X}\right).Observação prática: para 1ª ordem o PFR tem expressão com log e normalmente requer menor volume que um CSTR para o mesmo X.
Caso B — reação de segunda ordem (por exemplo -r_A = k C_A^2):
-r_A = k C_{A0}^2(1-X)^2.
  • Para o CSTR: V_{\text{CSTR}} = F_{A0}\,\frac{X}{k C_{A0}^2(1-X)^2}.
  • Para o PFR: V_{\text{PFR}} = F_{A0}\int_{0}^{X}\frac{dX}{k C_{A0}^2(1-X)^2} = \frac{F_{A0}}{k C_{A0}^2}\left[\frac{1}{1-X}-1\right].
Observação didática: essas duas famílias (1ª e 2ª ordem) cobrem muitos exemplos de prova. Assim que você souber qual é a lei no Exemplo 2-7 do Fogler usado na aula, escolha a fórmula correspondente e plugue X_1=0{,}30 e X_1=0{,}70.

Passo 4

Como aplicar no seu caso prático (passo-a-passo operacional que você fará na prova) — sequência de operações:
  1. Identifique no enunciado original (Fogler ex. 2-7) a lei de velocidade e os valores:
    • k (com unidades)
    • C_{A0} (ou \dot V se preferir converter)
    • Tipo de reatores e a conversão final desejada X_f (se o exemplo pedir uma X_f)
  2. Calcule as concentrações correspondentes:
    • No início: C_{A0}
    • Após primeiro reator (com conversão X_1): C_{A1} = C_{A0}(1-X_1)
    • Após segundo (com X_f final): C_{Af} = C_{A0}(1-X_f)
  3. Avalie as fórmulas de volume:
    • Se forem dois CSTRs em série: V_1 = F_{A0}\,\frac{X_1}{-r_A(C_{A1})},\qquad V_2 = F_{A0}\,\frac{X_f-X_1}{-r_A(C_{Af})}.
    • Se forem dois PFRs: V_1 = F_{A0}\int_0^{X_1}\frac{dX}{-r_A(X)},\qquad V_2 = F_{A0}\int_{X_1}^{X_f}\frac{dX}{-r_A(X)}.
  4. Substitua -r_A conforme a lei cinética (veja Passo 3) e resolva a integral ou a expressão algébrica.
  5. Faça os cálculos numéricos usando F_{A0}=52\\ \mathrm{mol/min} e as unidades coerentes (preste atenção na unidade de k e C_{A0}).
  6. Compare os volumes para X_1=0{,}30 e X_1=0{,}70 e comente:
    • Qual das duas distribuições exige menor volume total V=V_1+V_2?
    • Que ganho (ou perda) se tem ao colocar maior parte da conversão no primeiro reator?
    • Observações sobre sensibilidade ao k e C_{A0}.

Passo 5

Discussão geral (qualitativa) dos resultados esperados ao variar a conversão intermediária \;X_1, que responde ao item (c) do enunciado:
  • Para reações de primeira ordem:
    • Um PFR normalmente será mais eficiente (menor volume) que um único CSTR para a mesma conversão.
    • Para dois estágios (dois CSTRs ou dois PFRs), a distribuição da conversão entre os estágios muda a contribuição de cada volume. Em geral, ao aumentar \;X_1 (colocar mais conversão no primeiro reator), o primeiro reator precisa de mais volume, mas a concentração que entra no segundo será menor, reduzindo a taxa no segundo e portanto o volume necessário ali pode mudar de forma não linear.
    • Existe tipicamente um valor ótimo de \;X_1 que minimiza o volume total V_1+V_2. Esse ótimo depende da lei cinética. Para 1ª ordem com PFRs, a dependência é logarítmica; para CSTRs a dependência é racional. Em problemas de prova o exemplo geralmente mostra que a divisão equitativa não é necessariamente ótima.
  • Para reações de ordem maior que 1:
    • Efeitos de diluição ficam mais acentuados: quando a taxa depende de potências de C_A, baixar a concentração (maior X_1) reduz fortemente -r_A no segundo reator, aumentando o volume do segundo se for CSTR; para PFR o efeito aparece nas integrais.
  • Interpretação prática:
    • Se o objetivo for minimizar volume (custo de equipamento) e se a cinética for conhecida, faça a análise variando \;X_1 e calcule V_{\text{total}}(X_1); então encontre o mínimo (derivando e igualando a zero) — isso é um exercício clássico de otimização em projeto de reatores.
    • Se a sua aula/exemplo 2-7 discutiu uma escolha específica de X_1 (por exemplo X_1 ótimo ou \;X_1=0{,}5), ao refazer para \;X_1=0{,}30 e 0{,}70 você normalmente verá que o volume total aumenta para valores extremos de X_1 (muito baixo ou muito alto), ilustrando a existência de um ótimo intermediário.

Passo 6

Se você quer que eu refaça os cálculos numéricos exatos para os casos \;X_1=0{,}30 e \;X_1=0{,}70, copie/cole aqui (ou informe):
  • a lei de velocidade -r_A usada no exemplo 2-7 do Fogler (por ex. -r_A=k C_A ou outra),
  • o valor de k com unidades,
  • a concentração de entrada C_{A0} (ou \dot V para converter F_{A0}=C_{A0}\dot V),
  • o tipo de reatores (CSTR ou PFR) e a conversão final desejada X_f se aplicável.
Se preferir que eu use um exemplo didático genérico (por exemplo, primeira ordem com k assumido) eu posso calcular números ilustrativos agora sem precisar dos dados do livro — mas esses números serão apenas ilustrativos e não iguais ao exemplo 2-7 usado na sua aula.

Resposta

Não é possível calcular os volumes numéricos pedindo para “refazer o exemplo 2-7” apenas com \;F_{A0}=52\\ \mathrm{mol/min} e as conversões intermediárias \;X_1=0{,}30 e \;X_1=0{,}70; faltam a lei cinética ( -r_A), o valor de k, a concentração de alimentação C_{A0} (ou vazão volumétrica), o tipo de reatores e a conversão final desejada.

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